17.11. Псевдотензоры
В аналитической геометрии при рассмотрении 
направление результирующего вектора устанавливается условно в зависимости от выбора системы координат. В физике такая ситуация встречается при определении направления векторов угловой скорости, момента сил и др. .
В то же время направление таких векторов, как скорость, ускорение, сила определяется физическим смыслом и не зависит от выбора системы координат.
В свете этого:
Для ортогональных преобразований: 
, 
Поэтому все линейные ортогональные преобразования разбиваются на два класса: класс собственных линейных ортогональных преобразований, для которых 
(непрерывные преобразования) и класс несобственных линейных ортогональных преобразований, для которых Δ = –1 (преобразования отражения).
В зависимости от закона преобразования компонент по отношению к этим классам линейных ортогональных преобразований все тензорные величины можно разделить на истинные тензоры (или просто тензоры) и псевдотензоры.
Def: Псевдотензоры – это величины компоненты, которых преобразуются по закону: 
.
Напомним, что для истинного тензора закон преобразования имеет вид:
.
Из законов преобразования тензоров и псевдотензоров легко убедиться, что:
1°. Сумма двух псевдотензоров – псевдотензор.
2°. Произведение двух псевдотензоров – истинный тензор.
3°. Произведение псевдотензора на истинный тензор – псевдотензор.
4°. Свертка псевдотензора дает псевдотензор низшего ранга.
Примеры: 1) Если 
, то 
=
, т. е. V¢ = D×V, где D = ±1.
Таким образом, V согласно определению, есть псевдотензор нулевого ранга, т. е. псевдоскаляр.
2) Символ Кронекера dIk представляет собой единичный, симметричный, инвариантный относительно ортогонального преобразования системы координат, истинный тензор 2го ранга.
3) В паространстве Е3 в фиксированной системе координат К с ортами Е1, Е2, Е3 рассмотрим величины eIkl = (Ei´Ek)El.
Ясно, что в правой системе координат: e123 = e231 = e312 = 1; e213 = e132 = e321 = –1. Остальные eIkl равны нулю.
Рассмотрим, как преобразуются величины eIkl при линейных ортогональных преобразованиях. Перейдем в систему К¢ с ортами Е1¢, Е2¢, Е3¢:
eI¢K¢L¢ = (Ei¢´Ek¢)El¢ = (Рi¢IEi´Рk¢KEk)Рl¢LEl = Рi¢IРk¢KРl¢L(Ei´Ek)El.
Если K и K¢ – обе правые (или левые), то eIkl = (Ei´Ek)El. Если K и K¢ разной ориентации, то: –eIkl = (Ei´Ek)El . Тогда: eI¢K¢L¢ = Рi¢IРk¢KРl¢LEIkl×D (D = ±1, в зависимости от того рассматривается собственное или несобственное преобразование)
По определению величины eIkl образуют псевдотензор 3го ранга. Он Называется алгебраическим символом Леви-Чивита и образует единичный абсолютно антисимметричный псевдотензор 3го ранга, инвариантный относительно любого ортогонального преобразования координат.
Легко видеть, что 
4) Непосредственным вычислением можно убедиться, что 
, свертка
По индексам L и C дает: 
, свертка еще по двум индексам K и B дает: eIklEAkl = 2dIa, и наконец полная свертка приводит к: eIklEAbc = 6.
5) С помощью символа Леви-Чивита легко получить, например, известную формулу для двойного векторного произведения трех векторов:
{A´(B´C)}I = eIklAk(B´C)L =eIklAkELmnBmCn = eIklELmnAkBmCn = (dImDKn - dInDKm)AkBmCn =
= dImDKnAkBmCn - dInDKmAkBmCn = dImAnBmCn - dInAmBmCn = BiAnCn - CiAmBm = Bi(A×C) - Ci(A×B) = {B(A×C) - C(A×B)}I.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
