17.07.Афинные ортогональные тензоры

Пусть — эвклидово пространство и {} его ортонормированный базис. Если поставить задачу нахождения базиса {} взаимного к базису {}, то нетрудно видеть что ортонормированный базис взаимен самому себе: =.

Тогда

Следовательно получим, что .

Т. е. в ортонормированном базисе ковариантные и контравариантные координаты вектора x совпадают.

При этом можно записать:

В ортонормированном базисе вместо формул Гиббса имеем формулу:.

Рассмотрим переход от одного ортонормированного базиса {} к другому ортонормированному базису {}.

Формулы преобразования для произвольных базисов имели вид:

; ;

; ;

Обозначая элементы матрицы Р перехода от базиса {} к базису {} можно указанные формулы переписать в виде:

=; =;

Умножая скалярно первое равенство на , а второе на получим:

=(,)=(,)=;

Т. е. для матрицы перехода Р справедливо соотношение P-1=PT или то же самое: PPT=PTP

следовательно матрица оператора перехода ортогональна.

Формулы для преобразования ковариантных и контравариантных координат вектора X имели вид: = и =. В случае ортонормированных базисов они будут иметь вид: = и =,

Т. е. и ковариантные и контравариантные координаты преобразуются с помощью одной и той же матрицы перехода Р от базиса {} к базису {}, т. е.согласованно с базисными векторами. В силу этого для ортонормированных базисов все координаты векторов ковариантны и преобразуются по одному и тому же закону: =.

В дальнейшем, в соответствии с выше сказанным, в ортонормированных базисах (т. е. при ортогональных преобразованиях) все координаты будут ковариантны, т. е. все индексы нижние.

И наконец:

Def: Аффинным ортогональным тензором А ранга R называется объект, который :

1) В каждом ортонормированном базисе {} евклидова пространства определяется Координатами (индексы принимают значения от1 до N).

2) Обладает свойством, что его координаты в другом ортонормированном базисе {} связаны с координатами в ортонормированном базисе {} соотношениями:

=…

В дальнейшем изложение будет вестись для аффинных ортогональных тензоров, и для простоты, в дальнейшем именно их будем именовать словом: тензор.

< Предыдущая		Следующая >