17.06. Основные операции над тензорами

Сложение и вычитание тензоров. Определяется для тензоров одинакового типа, как покоординатное сложение и вычитание.

Умножение тензора на число. Определяется для любых тензоров. Умножается каждая координата тензора на число.

Умножение тензоров. Определяется для любых тензоров, заданными своими координатами в некотором (общем) базисе.

Чтобы умножить тензор А с координатами на тензор В с координатами надо в тензоре В переименовать индексы … на , а индексы на и составить тензор D типа (P+R,Q+S) с координатами =.

Замечание: Операция умножения тензоров, вообще говоря, не коммутативна: АВВА. (хотя элементы и одинаковые, но порядок их, вообще говоря, разный).

Свёртка тензора: Применяется для тензоров типа (P,Q) где P0, Q0.

Среди индексов тензора отмечается один верхний индекс и один нижний, заменяются одной буквой и производят суммирование по этому индексу согласно соглашению. Свертка тензора переводит тензор типа (P,q) в тензор типа (P-1,Q-1) т. е. понижает его ранг на 2.

Замечание: Термин свертка можно применить и к паре перемножаемых тензоров А и В, когда у одного тензора отмечается верхний индекс, а другого нижний и по этим индексам производится суммирование.

Симметрирование тензора по паре нижних индексов (или верхних).

(+)

Аналогично для пары верхних индексов.

Получаемый тензор симметричен по указанной паре индексов.

Альтернирование тензора по паре нижних индексов (или верхних).

(-)

Аналогично для пары верхних индексов.

Получаем тензор кососимметричный по указанной паре индексов.

< Предыдущая		Следующая >