17.05. Примеры тензоров

1°. Нуль-тензор – это тензор все координаты которого, в некотором (а, следовательно, в

любом базисе) равны нулю.

2°. Символ Кронекера. Тензор А типа (1, 1) в базисе {Ei} имеет координаты .

® = =

­суммир. ­взаимно

по K обратные

матрицы

Т. е. действительно можно рассматривать как тензор типа (1, 1).

3°. Пусть А(X, Y) – билинейная форма. Напомним, что в базисе {Ei}: A(X, Y) = A(Xiei, Yjej) =

= A(Ei, Ej)Xiyj = Aijxiyj. Здесь Aij – элементы матрицы билинейной формы А в базисе {Ei}.

Рассмотрим, как изменяется матрица билинейной формы при переходе к базису {Ei¢}.

Aij = A(Ei¢, Ej¢) = = A(Ei, Ej) = Aij.

Равенство Aij = Aij, показывает, что матрица билинейной формы представляет собой тензор А типа (2, 0) ранга 2.

Пусть А линейный оператор: Y=Ax. В некотором базисе : м =А()=А=

Т. е.= , – элементы матрицы линейного оператора в базисе {Ei¢}.

Рассмотрим базис {}.

= . Воспользуемся тем, что =; =.

= | умножим обе части на и просуммируем по j.

= Þ =() Þ =.

Тогда =

Последнее равенство показывает, что матрица линейного оператора может рассматриваться как тензор А типа (1,1) ранга 2.

< Предыдущая		Следующая >