17.04. Понятие тензора

Пусть V – вещественное (не обязательно евклидово) линейное пространство (dimV = N).

Def: Тензором типа (P, Q) , (P раз ковариантным, Q раз контравариантным) называется геометрический объект, который:

1) В любом базисе {Ei} линейного пространства Vn определяется Np+Q координатами (индексы принимают значения 1, 2, …, N каждый);

2) Обладает свойством, что его координаты в базисе {Ei¢} связаны с координатами в базисе {Ei} соотношениями:

; (*)

И здесь элементы матрицы перехода от старого базиса к новому (Ei ® Ei¢), а – элементы матрицы обратного перехода.

Число R = P + Q Называется рангом тензора.

Формула (*) Называется формулой преобразования тензора при изменении базиса.

Замечание: Индексы I1I2 … Ip Называются ковариантными, а K1K2 … Kq – Контравариантными.

Отметим: Ковариантные и контравариантные координаты вектора преобразуется по формуле (*) (P = 1, Q = 0 для ковариантных координат, P = 0, Q = 1 для контравариантных координат).

Поэтому вектор представляет собой тензор первого ранга (1 раз ковариантный, либо 1 раз контравариантный – в зависимости от выбора типа координат этого вектора).

Отметим: Скаляр – тензор нулевого ранга – имеет одну координату, причем не имеющую индексов и не изменяющуюся при изменении системы координат.

Замечание: Нетрудно убедиться в том, что последовательный переход от {Ei} к {Ei¢}, а затем от {Ei¢} к {}, приводит к тем же результатам, что непосредственный переход от {Ei} к {} , т. е. определение тензора корректно.

Замечание: Любая система Np+q чисел может в данном базисе рассматриваться как координаты некоторого тензора А типа (P, Q).

< Предыдущая		Следующая >