17.03. Преобразование базиса и координат

Пусть в En задана {Ei} и {Ei} –пара взаимных базисов, а {Ei¢} и {Ei¢} некоторая другая пара взаимных базисов. Запишем формулы преобразования базисных векторов:

1°. Переход Ei « Ei¢: Ei¢ = Ei; Ei =Ei¢. Здесь – матрица перехода от Ei К Ei¢; – матрица перехода Ei¢ от к Ei; т. е.матрицы и взаимно-обратны: = .

2°. Переход Ei « Ei¢: Ei¢ = Ei; Ei = Ei¢. Здесь – матрица перехода Ei от к Ei¢; – матрица перехода от Ei К Ei¢; т. е.матрицы и взаимно-обратны.

T°. = и (следовательно =).

◀ .Положим K = I, K¢ = I¢ Þ , т. е. матрицы и совпадают ▶

Примечание: Правило нахождения матрицы

=.

Итак: – формулы преобразования базисных векторов. Здесь матрица перехода от базиса {Ei} к базису {Ei¢}.

Таким образом для перехода от базиса {Ei, Ei} к базису {Ei¢, Ei¢} достаточно знать лишь матрицу перехода от базиса {Ei} к базису {Ei¢}.

Задача . Имеется две пары взаимных базисов {E1, E2, E3, E1, E2, E3} и {E1, E2, E3, E1¢, E2¢, E3¢}. Записать формулы для преобразования при переходе от одного базиса к другому и найти соответствующие матрицы перехода.

◀ Формулы преобразования базисных векторов:

1) , – матрица перехода от Ei к Ei¢; I¢ – строки, I – столбцы(строки слева) .

2) , – матрица перехода от Ei¢ к Ei; I – строки, I¢ – столбцы (строки слева),

при этом В2 = (В1)–1.

3) , – матрица перехода от Ei к Ei¢; I¢– строки, I – столбцы (строки слева),

при этом В3 = (В12)Т.

4) , – матрица перехода от Ei¢ к Ei; I – строки, I¢ – столбца (строки слева),

при этом В4 = (В1)Т.

5) Элементы матрицы В1 = () находят так ▶

Пример: Пусть Е1(1, 1, 0) Е1¢(1, 0, 0)

Е2(1, 0, 1) Е2¢(–1, 1, 0)

Е3(0, 1, 1) Е3¢(0, –1, 1)

Е1(1/2, 1/2, –1/2) « Е1¢(1, 1, 1) .

Е2(1/2, –1/2, 1/2) Е2¢(0, 1, 1)

Е3(–1/2, 1/2, 1/2) Е3¢(0, 0, 1)

Строим матрицу . Имеем ;

. Чтобы проверить формулу 1) мы должны матрицу В1 умножить на матрицу у которой в строках стоят Ei – получим матрицу у которой в строках Ei¢, аналогично проверяются формулы 2), 3), 4).

1) ;

2) ;

3) ;

4) ▶

Информация к размышлению:

Та же Задача: В базисе, в котором заданы координаты всех векторов, построить матрицу перехода от базиса {Ei} к базису {Ei¢} (а также от базиса {Ei} к базису {Ei¢}).

◀ а) пусть PS®E – матрица перехода из стандартного базиса в базис {ЕI}, т. е. для построения матрицы PS®E координаты векторов Ei пишутся в столбцы;

Б) Pе®S = (PS®E)–1;

В) PS®E¢ – матрица перехода из стандартного базиса в базис {Ei¢} ;

Г) PЕ®E¢ = (PS®E¢)(PS®E)–1 ▶

Примеры:

1°. Е1(1, 1, 0) Е1¢(1, 0, 0)

Е2(1, 0, 1) Е2¢(–1, 1, 0)

Е3(0, 1, 1) Е3¢(0, –1, 1) .

Тогда . Получаем .

При этом . И при этом: если обозначить Р1 = Pе®E¢, Р2 = Pе¢®E, то: Р1E1 = E1¢; Р1E2 = E2¢; Р1E3 = E3¢; Р2E1¢ = E1; Р2E2¢ = E2; Р2E3¢ = E3.

2°. Е1(1/2, 1/2, –1/2) Е1¢(1, 1, 1)

Е2(1/2, –1/2, 1/2) Е2¢(0, 1, 1)

Е3(–1/2, 1/2, 1/2) Е3¢(0, 0, 1) .

Построение: ;

и кроме того: . Если обозначить Pе®E¢=Р3, Pе¢®E =Р4, то Р3E1 = E1¢; Р3E2 = E2¢; Р3E3 = E3¢; Р4E1¢ = E1; Р4E2¢ = E2; Р4E3¢ = E3. Для Р1, Р2, Р3, Р4 справедливы те же соотношения, что и для В1, В2, В3, В4:

В1; В2 = ; В3 = ; В4 = ;

Р1; Р2 = ; Р3 = ; Р4 = .

Вопрос: Почему же В1 и Р1 (а также остальные) матрицы различны? Правда, они симметричны относительно второй большой диагонали?

Попробуйте ответить на этот вопрос прежде чем вы прочитаете последующие две строчки.

Ответ: Матрицы и матрицы Р1 это одна и та же матрица перехода но Р1 в стандартном базисе, а в базисе {Ei}.

Пусть XÎEn.Пусть в базисе {Ei¢, Ei¢} X = Xi¢Ei т. е. Xi¢ ковариантные координаты вектора X.

Xi¢ = (X, ei¢) = (X, ei) = Xi, т. е. Xi¢ = Xi.

При переходе к новому базису ковариантные координаты вектора X преобразуются с помощью матрицы перехода от базиса {Ei} к базису {Ei¢} (т. е. так же как координаты базисных векторов). Этим и обусловлено название – ковариантные (согласованные) .

Кроме того : Xi¢ = (X,Ei¢) = (X,Ei) = Xi.

При переходе к новому базису контравариантные координаты вектора X преобразуются с помощью матрицы перехода от базиса нового к старому. Это несогласование преобразований и обусловило название контравариантные (несогласованные) координаты.

Задача . Вектор Х(5, 2, 1) в базисе {E1(1, 1, 0), E2(0, 1, 1), E3(0, 1, 1), E1(1/2, 1/2, 1/2), E2(1/2, –1/2, 1/2), E3(–1/2, 1/2, 1/2)} имеет ковариантные координаты (7, 6, 3) и контравариантные координаты (3, 2, –1). Это было установлено при решении задач в предыдущем параграфе. Найти ковариантные и контравариантные координаты этого же вектора в базисе {E1¢(1, 0, 0), E2¢(–1, 1, 0), E3¢(0, –1, 1), E1¢(1, 1, 1), E2¢(0, 1, 1), E3¢(0, 0, 1)}.

◀ Как известно, ковариантные и контравариантные координаты вектора Х преобразуются по-разному: с помощью формул: Xi¢ = Xi и Xi¢ = Xi, тогда Xi¢ = Xi Þ , т. е. Х¢ = 5Е1¢ – 3Е2¢ – Е3¢ (это Х(5, 2, 1)). Итак (7, 6, 3) ® (5, –3, –1) для ковариантных координат.

Далее: , т. е. Х¢ = 8Е1¢ + 3Е2¢ + Е3¢ (это Х(5, 2, 1)). Итак (3, 2, –1) ® (8, 3, 1) для контравариантных координат.

Здесь матрицы перехода взяты из предыдущей задачи. ▶

< Предыдущая		Следующая >