16.16. Примеры представлений групп

Рассмотрим группу G – группу симметрий трехмерного пространства, состоящего из трех элементов: I – тождественное преобразование и Р – отражение пространства относительно начала координат.

Т. е. G = {I, P}. При этом умножение элементов задано таблицей:

1) Одномерное представление группы G.

Пусть Е1 – пространство представлений и Е1 – базис. Пусть линейный невырожденный оператор А(1) в этом базисе имеет матрицу А(1) = (1). Очевидно, это преобразование образует подгруппу в группе GL(1) причем умножение в этой подгруппе задается по правилу:

Мы получили одномерное представление D(1)(G) группы G

D(1)(I) = А(1); D(1)(P) = А(1);

2) Двумерное представление группы G. Выберем в Е2 базис {Е1, Е2} и рассмотрим в этом базисе матрицы преобразований: операции задаются таблицей:

Получим двумерное представление группы G с помощью соотношений: D(2)(I) = А(2); D(2)(P)= В(2);

Этими соотношениями определяется изоморфизм группы G на подгруппу {A(2); B(2)} группы GL(2), т. е. это точное представление группы G.

2) Трехмерное представление группы G. Рассмотрим в Е3 в базисе {Е1, Е2, Е3} линейное преобразование А(3) с матрицей А(3) = и законом умножения: А(3)×А(3) = А(3). Получаем трехмерное представление D(3)(G) с помощью соотношений:

D (3)(I) = А(3); D(3)(P) = А(3).

4) Четырехмерное представление группы G. Рассмотрим в Е4 линейные преобразования А(4) и В(4) с матрицами: . Преобразования А(4) и В(4) образуют подгруппу в GL(4) с законом умножения, аналогичным примеру 2, соотношениями: D(4)(I) = А(4), D(4)(P) = В(4).

Заметив, что А(4) и В(4) можно записать в виде ,

можно записать (условно): D(4)(G) = D(2)(G) + D(2)(G) = 2D(2)(G).

Аналогично можно условно записать D(3)(G) = 3D(3)(G).

Используя это замечание можно без труда построить представление группы G любой конечной размерности.

< Предыдущая		Следующая >