16.15. Характеры

Пусть D(G) – N-мерное представление группы G, и Dij(G) – матрица оператора, отвечающего GÎG.

Характером элемента GÎG в представлении D(G) Называется число c(G) = Dij(G) = = D11(G) + D22(G) + …+ Dnn(G), т. е. характером элемента GÎG является след оператора D(G). Отсюда ясно, что характер любого элемента не зависит от базиса представления и поэтому является инвариантом.

Итак: любому GÎG представления D(G) отвечает число – характер этого элемента.

Вопрос: каким элементам группы отвечают одинаковые характеры?

Def: Элемент BÎG называется сопряженным к элементу AÎG, если $UÎG такой, что Uau–1 = B.

Для сопряженных элементов выполнено:

1°. А сопряжен самому себе. ◀ Еае–1 = А ▶

2°. Если B сопряжен к А, и С сопряжен к B, то С сопряжен к А.

◀ Uau–1 = B Þ U–1Uau–1U = U–1Bu Þ А = U–1Bu Þ А = Vbv–1 ▶

3°. Если B сопряжен к А, и С сопряжен к B , то с сопряжен к А.

◀ Uau–1 = B, Vbv–1 = C Þ C = V(Uau–1)V–1 = (Vu)A(U–1V–1) = = (Vu)A(Vu)–1 = Waw–1 ▶

Все элементы группы разобьем на классы взаимно-сопряженных элементов. Два таких класса либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

Тº. Характеры элементов принадлежащих к одному и тому же классу сопряженных элементов равны друг другу. Доказать самостоятельно.

Тº. Характеры элементов для эквивалентных представлений совпадают. Доказать самостоятельно.

Пусть G разбита на классы сопряженности K1, K2, …, Kv. Тогда каждому Ki можно поставить в соответствие число cI – характер элементов Ki в представлении D(G).

Тогда представление D(G) может быть описано с помощью набора характеров c1, c2, …, cV, который можно рассматривать, как координаты вектора в евклидовом пространстве Еv. При этом различным представлениям соответствуют, вообще говоря, различные векторы.

Указанный геометрический подход позволяет во многих случаях решать важные вопросы теории представления групп.

< Предыдущая		Следующая >