16.13. Линейные представления групп. Терминалогия

Def: Линейным представлением группы G в конечномерном евклидовом пространстве Еn называется такое отображение F, посредством которого "AÎG $Ta – линейный оператор пространства Еn Так, что "A1, A2ÎG Выполнено соотношение: T(A1, A2) = . Т. е. осуществляет Гомоморфизм группы G На некоторое подмножество линейных преобразований.

Используется следующая терминология: Еn – пространство представления; dimЕn – размерность представления; базис в Еn – базис представления.

Сам гомоморфный образ F(G) группы G также Называется представлением группы G в пространстве представлений.

В дальнейшем: N-мерное линейное представление группы будем Называть (для кратности) Представлением этой группы.

Обозначение Представления группы : D(G).

Различные представления группы : D(m)(G).

D(m)(Y) – это линейный оператор: F: G ® D(m)(Y).

Представления И группы G в одном и том же пространстве Называются эквивалентными, если $С – линейный оператор в ЕN такой, что

"GÎG: = C–1С.

Тривиальное представление группы G: гомоморфизм G на единичный элемент группы GL(N).

Если F: G ® G1, где G1 подгруппа в GL(N) и если F – изоморфизм, то представление Называется точным. (Не у всякой группы есть точное N-мерное представление для заданного N).

Например: У О(10) нет точного одномерного представления: группа О(1) – абелева, а группа О(10) не абелева.

< Предыдущая		Следующая >