16.11. Группы линейных преобразований

1°. Рассмотрим множество невырожденных линейных операторов (преобразований), действующих из Vn в Vn. Если определить произведение линейных операторов по правилу (AB)X = A(Bx), то:

Тº. Множество GL(N) невырожденных линейных преобразований линейного N-мерного пространства V с операцией умножения операторов введенной, как (АВ)Х = А(Вх) представляет собой группу.

Эта группа Называется группой линейных невырожденных преобразований линейного пространства Vn и обозначается: GL(N).

2°. Короткое воспоминание: Линейный оператор Р в евклидовом пространстве называется ортогональным, если "X, YÎV (евклидово пространство) (Px, Py) = (X, Y).

Условие ортогональности оператора: Оператор Р2 ортогонален тогда и только тогда когда существует Р-1 и Р-1 = Р*.

Тº. Множество всех ортогональных операторов евклидового пространства Vn с

обычной операцией умножения линейных операторов образует группу.

Эта группа Называется ортогональной группой и обозначается О(N).

◀ Пусть Р1 и Р2 – ортогональные операторы. Докажем, что Р1Р2 тоже ортогональный оператор (Р1Р2X, Р1Р2X)(Р2X, Р2X)(X, Y) ▶

3°. Еще воспоминание: Если оператор Р ортогонален, то detP = ±1. Поэтому все ортогональные операторы Р делятся на два класса:

А) Р для которых detP = 1 (эти преобразования Называются собственными)

Б) Р для которых detP = -1 (эти преобразования Называются несобственными)

Тº. Множество всех собственных ортогональных преобразований образует группу, которая Называется собственной ортогональной группой и обозначается SO(N).

4°. O(N) есть подгруппа GL(N); SO(N) есть подгруппа О(N).

5°. В комплексном линейном пространстве также можно рассмотреть группу линейных преобразований. Если в комплексном пространстве со скалярным произведением (унитарное пространство) рассмотреть множество линейных операторов, сохраняющих скалярное произведение: (Ux, Uy) = (X, Y) (такие операторы называются унитарными), то окажется, что унитарные операторы образуют группу. Эта группа называется Унитарной группой, обозначается Un и является аналогом ортогональной группы в унитарном пространстве.

< Предыдущая		Следующая >