16.10. Две теоремы о гомоморфизмах

Тº. Пусть F – гомоморфизм группы G на и пусть Н – множество тех элементов группы G, которые при гомоморфизме F отображаются в элемент F(E), где Е – единица группы G. Тогда Н нормальный делитель группы G.

◀ Достаточно доказать, что Н – подгруппа и, что левые смежные классы есть одновременно и правые смежные классы.

1) AÎH, BÎH Þ F(Ab) = F(A)F(B) =

= F(E)F(E) = F(Ee) = F(E), т. е. AbÎH;

AÎH Þ F(A–1) = F(A–1E) = F(A–1) F(E) = F(A–1)F(A) = F(A–1A) = F(E), т. е. A–1ÎH. Тогда Н – подгруппа группы G.

2) AÎG И пусть A = {XÎG½F(X) = F(A)}. Докажем, что А – это одновременно и левый и правый смежные классы.

Пусть A¢ÎA. Рассмотрим уравнение Ax = A¢: F(A¢) = F(Ax) = F(A)×F(X) = F(A¢)F(X), отсюда F(X) = = F(E) Þ XÎH; Т. к. = A¢ Þ A¢ÎAH.

Пусть A¢ÎA. Рассмотрим уравнение Xa= A¢: F(A¢) = F(Xa) = F(X)×F(A) = F(X)F(A¢) ), отсюда F(X) = = F(E) Þ XÎH; Т. к. = A¢ Þ A¢ÎHA.

Получили А = АН = На ▶

Тº. Пусть F – гомоморфизм группы G на и Н – тот нормальный делитель группы

G , элементaм которого при гомоморфизме F соответствует . Тогда группа

и фактор-группа G/H изоморфны.

◀ Установим взаимно-однозначное соответствие между и G/H.

смежный класс, который с помощью F отображается в .

Это отображение взаимно – однозначно, ибо смежные классы не пересекаются. Если умножение классов производить как умножение подмножеств, то станет ясно, что это ото-

Бражение есть изоморфизм. Но классы смежности и есть элементы фактор-группы. ▶

< Предыдущая		Следующая >