16.04. Некоторые свойства групп

1°. Если Aa-1 = E Þ A-1A = E, т. е. (A-1)-1 = A.

◀ Пусть X элемент обратный к A-1, т. е. A-1X = Е. Тогда А = Ае = А(A-1Х) = (Аa-1)Х = Ех и A-1А = A-1(Ех) = (A-1Е)Х = A-1Х = Е ▶

2°. "А, Еа = А, т. е. правый нейтральный элемент является и левым нейтральным.

◀ ▶

3°. Если Ах = Е и Уа = Е, то Х = У.

◀ Пусть Ау = Е, т. е. Y обратен к А Þ Уа = Е (1°), т. е. У = Уе = У(Ах) = (Уа)Х = Ех = Х ▶

Из свойств 1°, 2°, 3° следует, что:

1s) Элемент A-1 является как левым, так и правым обратным к А.

2s) В любой группе уравнения Ах = B и Ya = B однозначно разрешимы, причем X = A-1B,

Y = Ba-1.

3s) В группе имеется единственный нейтральный элемент.

4°. (Ab)-1 = B-1A-1.

◀ (Ab)(B-1A-1) = A(Bb-1)A-1 = Aa-1 = E ▶

< Предыдущая		Следующая >