16.03. Еще определения

1°. Если группа конечная – то количество её элементов называют порядком группы.

2°. Группа G Из элементов А0 = Е, А, А2, А3, …, Аk = Е называется циклической группой, порождаемой элементом А. Порядок группы – ½G½= K.

3°. Группа поворотов правильного многоугольника относительно его центра является циклической группой NГо порядка. Порождается элементом P2π/N (поворот на угол 2π/N против часовой стрелки). Эта группа обозначается Cn.

4°. Группа целых чисел по сложению также циклическая, ибо порождается одним элементом (0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, …, –(1), –(1 + 1), …), Группа обозначается С¥.

5°. Если Н1 и Н2 помножества группы G, то Н{H ½ H=H1+H2, H1G1 , H2 G2} называется Суммой двух подмножеств группы G И обозначается G1 + G2 . Если, при этом, представление H=H1+H2 единственно, то сумма подмножеств называется Прямой суммой и обозначается Н1 Å Н2 . Отметим что, сумма двух подгрупп группы подгруппой, вообще говоря, не является. ( Попробуйте привести пример )

6°. Т°. G=G1ÅG2Å…ÅGK Û (G1,G2,…GI-1)ÇGI={q}, "I£K.

Для того чтобы группу G Можно было представить в виде прямой суммы подгрупп G1,G2,…,GK необходимо и достаточно, чтобы подгруппы не имели других общих элементов, кроме нейтрального.

Т°. Пусть ½G½= N И N=K×L . НОД(K, L) = 1. Тогда $Gk,Gl Ì G, ½Gk½=K, ½Gl½=L : G=GkÅGl (для абелевых циклических групп).

7°. Если для циклической группы G порядок группы ½G½=Pn (N>1), где P – простое число, то группа называется примарной.

Т°. Примарная группа не может быть разложена в прямую сумму нетривиальных подгрупп.

8°. Т°(Лагранжа). Если G1 - подгруппа конечной группы G То порядок подгруппы G1 является делителем порядка группы G.

< Предыдущая		Следующая >