16.02. Примеры групп

1) Аддитивные группы: {0}, Q, R, C, множество Zk целых чисел, кратных целому заданному K.

2) Мультипликативные: {1}, {1, –1}, {1, I, –1, –I}, множество {ZÎC½||Z|| = 1}, P+ – множество вещественных положительных чисел, Q\{0}, R\{0}, C\{0}.

3) Группа симметрий ромба V: {E, SBD, SAC, S0}.

Таблица Кэли:

	E	SBD	SAC	S0
E	E	SBD	SAC	S0
SBD	SBD	E	S0	SAC
SAC	SAC	S0	E	SBD
S0	S0	SAC	SBD	E

4) Для заданного равностороннего треугольника АВС рассмотрим преобразования, отображающие треугольник сам на себя:

1. Е – тождественное преобразование.

2. α – поворот на угол 2π/3 против часовой стрелки.

3. β – поворот на угол 4π/3 против часовой стрелки.

4. S1 – симметрия относительно оси (1) (В С)

5. S2 – симметрия относительно оси (2) (А С)

6. S3 – симметрия относительно оси (3) (А В).

Закон композиции зададим таблицей Кэли:

II ⊙ I	E	A	B	S1	S2	S3
E	E	A	B	S1	S2	S3
A	A	B	E	S2	S3	S1
B	B	E	A	S3	S1	S2
S1	S1	S2	S3	E	A	B
S2	S2	S3	S1	B	E	A
S3	S3	S1	S2	A	B	E

Такой закон композиции ассоциативен, но не коммутативен (например S1⊙S2¹S2⊙S1. Единичный элемент Е – тождественное преобразование, обратные a-1 = b; b-1 = a; .

Множество преобразований самосовмещения треугольника с таким законом композиции Называется группой самосовмещений равностороннего треугольника.

Подмножество {E, a, b} этой группы образует подгруппу группы самосовмещений и Называется группой поворотов равностороннего треугольника.

5) Перестановкой назовем закон, по которому элементам A, B, C, D, … взаимно однозначно ставятся в соответствие элементы того же множества, но, возможно, в другом порядке .

Композиция двух перестановок F1⊙F2 определяется как последовательное применение двух перестановок: сначала F2, а потом F1.

Для конечного множества Е из N – элементов перестановки образуют группу (не абелевую!), которая называется симметричной группой Sn.

В частности:

Группа перестановок трех элементов S3:

Пусть P1=, P2 =, P3 =, P4 =, P5 =, P6 =.

Закон композиции определен таблицей:

	P1	P2	P3	P4	P5	P6
P1	P1	P2	P3	P4	P5	P6
P2	P2	P1	P5	P6	P3	P4
P3	P3	P6	P1	P5	P4	P2
P4	P4	P5	P6	P1	P2	P3
P5	P5	P4	P2	P3	P6	P1
P6	P6	P3	P4	P2	P1	P5

Данная группа имеет три подгруппы по два элемента: {P1, P2}, {P1, P3}, {P1, P4} и одну подгруппу из трех элементов: {P1, P5, P6}.

Группу самосовмещений равностороннего треугольника можно представить как группу перестановок трех элементов:

.

6) Рассмотрим множества, состоящие из двух элементов {0, 1} с операцией: 0⊙0 = 0; 0⊙1 = 1; 1⊙0 = 1; 1⊙1 = 1. Единичный элемент здесь 0.

Эта группа называется группой вычетов по модулю 2 и обозначается Z2.

7) Группа из двух преобразований евклидового пространства: а) тождественное преобразование – 0, б) отражение относительно θ – 1.

От группы Z2 – отличается лишь природой элементов, групповые свойства одинаковы.

< Предыдущая		Следующая >