15.3. Экстремальные свойства квадратичной формы

Рассмотрим произвольную дифференцируемую функцию F на некоторой гладкой поверхности S. Точка Х0ÎS называется стационарной (критической) точкой, если в X0 производная F по любому направлению на поверхности S равна нулю.

Мы исследуем вопрос о стационарных (в частности экстремальных) точках и значениях квадратичной формы B(X, X) на сфере единичного радиуса в евклидовом пространстве V и о связи этих значений с собственными векторами и значениями самосопряженного оператора А, такого, что (Ax, Y) = B(X, Y). При этом единичной сферой в V назовем множество ХÎV для которых (X, X) = ||X|| = 1.

Итак: пусть B(X, X) – квадратичная форма, B(X, Y) – полярная ей симметричная билинейная форма, A – самосопряженный оператор: B(X, Y) = (Ax, Y), тогда в базисе из собственных векторов оператора А : здесь λK – собственные значения А.

Договоримся, что l1 ³ l2 ³ l3 ³ l4 ³ … ³ lN . Заметим, что в выбранном базисе уравнение единичной сферы таково: .

Т°. Стационарные значения квадратичной формы B(X, X) на единичной сфере равны

собственным значениям λK оператора А. Эти стационарные значения достигаются на единичных собственных векторах Еk оператора А.

Задача: найти точки экстремума B(X, X) при условии (X, X) = 1. Этo задача на условный экстремум.

◀ Можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа: . НЕобходимое условие экстремума: и , K = 1, 2, …, N.

Здесь lK – неопределенные множители Лагранжа.

Решение этой системы: т. е. эти решения – собственные значения и собственные векторы оператора А.

Примечание: Числа λ1 и λN являются собственно наибольшим и наименьшим значением B(X, X) на сфере (X, X) = 1, т. е. , .

Неравенства Характеризуют, так называемый, принцип Рэлея. При этом,,

Для нахождения наибольшего по модулю собственного значения оператора А, Можно применить следующую процедуру: . ; ; .

< Предыдущая		Следующая >