15.2. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов

Т°. Пусть A(X, Y) и B(X, Y) – симметричные билинейные формы в вещественном

линейном пространстве V. Пусть, кроме того, "XÎV, X ¹ 0, B(X, X) > 0, т. е.

квадратичная форма B(X, X) положительно определена. Тогда в V существует

базис {Ek}, в котором: .

◀ Рассмотрим билинейную форму B(X, Y) полярную к квадратичной форме B(X, X). Учитывая свойства B(X, X) в посылке теоремы, форма B(X, Y), может задавать скалярное произведение в V (X, Y) º B(X, Y), теперь V стало евклидовым пространством Þ${Ek} – ортонормированный базис, в котором , при этом в ортонормированном базисе ▶

Две последние теоремы дают доказательство существования и способ построения канонического базиса квадратичной формы.

Этот способ не более сложен чем, скажем, методы Лагранжа или Якоби, рассмотренные ранее. Однако доказательство полезно тем, что иллюстрирует применение самосопряженных операторов и выглядит здесь достаточно мощно.

< Предыдущая		Следующая >