14.2. Ортогональные операторы

В комплексных унитарных пространствах рассматривались унитарные операторы, т. е. операторы, сохраняющие скалярное произведение ((Ux, Uy) = (X, Y)), их аналогом в евклидовых пространствах являются ортогональные операторы.

Def: Линейный оператор P, действующий в евклидовом пространстве называется ортогональным, если "X, YÎV: (Px, Py) = (X, Y).

Непосредственно из определения следует, что если {Ek} ортогональный базис в V, то {Pek} тоже ортогональный базис в V.

Т°. Чтобы линейный оператор P был ортогональным необходимо и достаточно,

чтобы существовал оператор P–1 и выполнялось равенство P* = P–1.

◀ Необходимость. Пусть P – ортогональный.

(P*Px, Y) = (Px, Py) = (X, Y) Þ ((P*P – Е)X, Y) = 0 Þ P*P = Е Þ (Px, Py) = (X, Y) Þ P* = P–1.

Достаточность. Пусть P* = P–1, (X, Y) = (X, P–1Py) = (X, P*Py) = (Px, Py) ▶

Def: Матрица называется ортогональной, если PTP = PPT = E.

Если Е1, Е2, …, Еn ортонормированный базис в V, то оператор P будет ортогональным тогда и только тогда когда матрица оператора будет ортогональной.

В унитарном пространстве аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица, т. е. такая матрица U, что U*U = UU* = E. Здесь U* эрмитово сопряженная матрица, т. е. . Нетрудно показать, что в ортонормированном базисе матрица линейного оператора U унитарна тогда и только тогда, когда оператор U унитарен.

Рассмотрим Ортогональное преобразование в одномерном случае "ХÎV1, X = aE, aÎR, тогда Pe = lE Þ (Pe, Pe) = (lE, lE) = l2 (E, E) = (E, E), т. е. l2 = 1, l = ±1, таким образом, в одномерном пространстве существует два ортогональных преобразования P+X = X и P–x = – X.

Рассмотрим Ортогональное преобразование в двумерном случае. Если P Задается матрицей , то из условия PTP = PPT = E следует, что

Т. е.. Положив A = cosj, B = – sinj, получим , причем во второй строке надо брать либо оба минуса, либо оба плюса. При этом detP± = ±1.

Ортогональная матрица P+ Называется собственной, а P- Называется несобственной.

В ортонормированном базисе {E1, E2} оператор P+ осуществляет поворот на угол φ в плоскости {E1, E2}. Записав P- = QP+, где , можем сказать, что P- осуществляет поворот на угол φ в плоскости {E1, E2} (P+), а затем отражение относительно оси E1 (Q).

В Общем случае В N-мерном евклидовом пространстве произвольный ортогональный оператор P в некотором ортонормированном базисе {Е1, Е2, …, Еn} может быть записан в виде:

.

Таким образом, в некотором ортонормированном базисе действие ортогонального оператора сводится к последовательным поворотам и отражениям относительно координатных осей.

< Предыдущая		Следующая >