14.1. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Общие замечания и напоминания

Def: Оператор А, действующий в вещественном линейном пространстве называется линейным, если "X, YÎV, "aÎR

1) A(X + Y) = Ax + Ay

2) A(aX) = aA(X)

Def: Вектор XÎV, X ¹ 0 называется собственным вектором оператора А, если $aÎR такое, что Ax = aX и a при этом называется собственным значением оператора А.

1°. Собственные значения оператора А являются корнями характеристического уравнения det(A – lЕ) = 0. Наоборот, вообще говоря, неверно. Корень характеристического уравнения является собственным значением оператора А только в случае, когда этот корень вещественен.

Def: Оператор А* называется сопряженным к оператору А, если "Х, YÎV, (Ax, Y) = (X, A*Y).

2°. Каждый линейный оператор А имеет единственный сопряженный оператор, который также является линейным.

При доказательстве этой теоремы в комплексном пространстве используется понятие полуторалинейной формы. В вещественном пространстве используется понятие билинейной формы.

Def: Функция В(X, Y) называется билинейной формой в V, если "X, YÎV, "a, bÎR:

1) B(a1X1 + a2X2, Y) = a1B(X1, Y) + a2B(X2, Y)

2) B(X,B1Y + b2Y2) = b1B(X, Y1) + b2B(X, Y2)

3°. Для любой билинейной формы В(X, Y) существует линейный оператор А такой, что В(X, Y) = (Ax, Y).

Aналогом эрмитовых форм в вещественном пространстве служат симметричные билинейные формы.

Def: Билинейная форма В(X, Y) называется симметричной, если B(X, Y) = B(Y, X). Билинейная форма В(X, Y) называется кососимметричной, если B(X, Y) = -B(Y, X).

4°. Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососиметричной билинейной формы.

5°. Для того, чтобы билинейная форма B(X, Y), заданная в вещественном евклидовом пространстве V, была симметричной необходимо и достаточно, чтобы оператор А в представлении B(X, Y) = (Ax, Y) был самосопряженным.

Т°. Все корни характеристического многочлена самосопряженного линейного

оператора А в евклидовом пространстве – вещественны.

◀ Пусть l = a + bI – корень характеристического уравнения det(A – lE) = 0. Пусть (Aik) – элементы матрицы оператора в некотором базисе {EiK}, (AikÎR). Будем искать решение системы , где l = a + bI. Система имеет решение I =1, 2, 3, …, N, ибо определитель системы равен 0. Пусть решение , K = 1, 2, 3, …, N. Подставляя в систему и приравнивая вещественные и мнимые части выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, имеем: ,

, или в векторном виде .

Умножим скалярно первое уравнение на Y, а второе на X :

.

Учитывая, что (Ax, Y) = (X, Ay) (ведь А – самосопряженный) имеем

A(X, Y) – b(Y, Y) = a(X, Y) + b(X, X), т. е. b((X, X) + (Y, Y)) = 0 Þ b = 0, т. е. l = aÎR ▶

6°. У каждого линейного самосопряженного оператора А в N – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов.

7°. В базисе из нормированных ортогональных собственных векторов матрица линейного самосопряженного оператора А имеет диагональный вид и по диагонали стоят собственные значения.

8°. В произвольном ортонормированном базисе матрица самосопряженного оператора будет симметричной (АТ = А). Верно и обратное. Этим вещественный случай отличается от комплексного: в комплексном случае оператор А является эрмитовым, когда матрица этого оператора эрмитова (т. е. ).

< Предыдущая		Следующая >