13.1. Канонический вид линейного оператора. Нормальная жорданова форма

Пусть А – линейный оператор, действующий в комплексном векторном пространстве V. Если в V существует базис {Ek} из собственных векторов оператора А, то в этом базисе матрица оператора А имеет диагональный вид , где λ – соответствующие собственные значения оператора А.

Так будет, например, в том случае, когда характеристичное уравнение оператора А: det(A – lЕ) = 0 имеет N попарно различных корней.

Однако это далеко не всегда так. Например, оператор А с матрицей А = имеет характеристическое уравнение: j(l) = (2 - l)2 = 0. Это уравнение имеет кратный корень λ = 2 и этому корню соответствует лишь один собственный вектор (1, 0) (или ему коллинеарные). И матрица оператора А ни в каком базисе не приводится к диагональному виду.

Поэтому возникает вопрос, о каком-то другом, достаточно простом виде, к которому можно привести матрицу всякого линейного оператора.

В комплексном пространстве таким «простейшим», каноническим видом принято считать так называемую жорданову форму матрицы.

Def: Жордановой клеткой GK(λ) называется квадратная матрица K-го порядка вида:

.

Порядок жордановой клетки может быть любым. В частности, если K = 1, то клетка имеет простейший вид : (λ)

Def: Жордановой матрицей называется матрица вида: . Здесь Gk(λ) – жордановы клетки.

В частности, если оператор А имеет матрицу , то нормальная жорданова форма матрицы оператора состоит из двух жордановых клеток. Нетрудно заметить, что a и β – соответственные значения оператора А. И, кроме того:

Ае1 = aЕ1; АЕ2 = aЕ2 + Е1; Ае3 = aЕ3 + Е2; Ае4 = bЕ4; Ае5 = bЕ5 + Е4.

Тº. Произвольный линейный оператор А в комплексном пространстве V имеет базис

, в котором матрица оператора А имеет жорданову форму.

Доказательство теоремы довольно громоздко и мы его не приводим. Построение базиса и приведение матрицы оператора к жордановой форме продемонстрируем на примерах.

Схема построения нормальной жордановой формы матрицы оператора такова:

1) Нахождение собственных значений оператора А: l1, l2, …, lN и соответствующих им собственных векторов: Е1, …, Еn. Если количество собственных векторов равно N, то в указанном базисе матрица диагональная.

2) Если для λ – кратного корня кратности K количество собственных линейно независимых векторов также равно K, то в этом базисе матрица вновь имеет диагональный вид.

3) Для l – кратных и таких, что количество собственных векторов меньше кратности корня, нахождение базисных векторов идет по схеме:

А) Находим собственные векторы оператора А, т. е. базис N(Aλ) – ядра оператора Aλ, где Aλ = А – λЕ.

Б) находим М(Аλ) – образ оператора Аλ и его базис.

Тогда искомый базис: Х1, Х2, …, Xp, Xp+1, Xp+2, Xm, Y1, Y2, …, Yp, Y¢1, Y¢2, … Zp+1, …, Ze (всего K - векторов)

< Предыдущая		Следующая >