12.2. Нормальные операторы

Def: Линейный оператор А Называется нормальным, если А*А = АА*.

1° Из определения: любой унитарный оператор является нормальным.

Тº. Пусть А – нормальный оператор. Тогда А и А* имеют общий собственный

вектор Е, такой, что ||E|| = 1, Ae = lE, A*E = .

◀ Пусть λ – собств. ззначение оператора А. Обозначим Rλ – собственное подпространство оператора А, т. е. множество ХÎV, Ах = lХ.

Пусть ХÎRλ, Ах = lХ. Тогда А(A*Х) = (АA*)Х = (A*А)Х = A*(Ах) = A*(lХ) = l(A*Х).

Получили А(A*Х) = l(A*Х), A*ХÎRλ. Итак, ХÎRλ Þ A*ХÎRλ, т. е. оператор A* действуют из Rλ в Rλ. Следовательно $ЕÎRλ, ||E|| = 1, такой, что A*E = mE (собственный вектор А*), но ЕÎRλ (собственный вектор А); Ах = lE; A*E = mE. При этом l = l(E, E) = (lE, E) = (Ae, E) = (E, A*E) = (E, mE) = (E, E) = ▶

Тº. Пусть А – нормальный оператор. Тогда существует ортонормированный базис

{Ek}, состоящий из собственных векторов А и А*.

◀ 1) по предыдущей теореме $Е1ÎV, ||E1|| = 1 и являющийся общим собственным вектором операторов А и А* с собственными значениями l1, соответственно.

Пусть V1 = ℒ^(E1) Þ V = ℒ(E1) ÅV1. Это значит, что если XÎV1 Þ X^E1.

XÎV1 Þ (Ax, E1) = (X, A*E1) = (X, E1) = l1(X, E1) = 0;

(A*X, E1) = (X, Ae1) = (X, l1E1) = (X, E1) = 0, т. е. Ax, A*XÎV1.

Следовательно операторы А и А* действуют в V1.

2) Тогда А и А* имеют в V1 общий собственный вектор Е2 (Е2ÎV1, Е2^Е1, ||E2|| = 1) с собственными значениями l2, соответственно. Пусть V2 = ℒ^(E1, E2) Þ V = ℒ(E1, E2) ÅV2, Это значит, что если XÎV2, то Х^Е1, Х^Е2.

XÎV2 Þ (Ax, E1) = (X, A*E1) = (X, E1) = l1(X, E1) = 0;

(Ax, E2) = (X, A*E2) = (X, E2) = l2(X, E2) = 0;

(A*X, E1) = (X, Ae1) = (X, l1E1) = (X, E1) = 0;

(A*X, E2) = (X, Ae2) = (X, l2E2) = (X, E2) = 0,

Т. е. Ax, A*XÎV2.

Следовательно операторы А и А* действуют в V2.

3) ….

Продолжая приведенные рассуждения мы построим ортонормированный базис {Ek} из собственных векторов общих для А и А* ▶

Следствие 1: Для нормального оператора А существует базис в котором А имеет

диагональную матрицу.

Следствие 2: Унитарный оператор имеет полную ортонормированную систему

собственных векторов.

И, наконец:

Тº. Если оператор АÎL(V, V) имеет ортонормированный базис из собственных

векторов, то этот оператор – нормальный. Доказать самостоятельно.

< Предыдущая		Следующая >