12.1. Унитарные и нормальные операторы. Унитарные операторы

Def: Линейный оператор UÎL(V, V) называется унитарным, если

"Х, yÎV (Ux, Uy) = = (X, Y) .

1° Из условия унитарности: ||Ux|| = ||X||, ||U|| = 1.

2° Если λ – собственное значение унитарного оператора, то | λ | =1.

◀ Пусть Е – собственный вектор с собственными значениями λ и ||X|| = 1. Тогда

| λ | =| λ | || E|| = ||lE|| = ||Ue|| = || E|| =1 ▶

Тº. Чтобы линейный оператор UÎL(V, V) был унитарным необходимо и достаточно,

чтобы U* = U–1.

◀ Необходимость: Пусть U – унитарный Þ (Ux, Uy) = (X, Y) Þ (X, U*Uy) = (X, Y) Þ

Þ (X, (U*U - Е)У) = 0 Þ U*Uy = Еу Þ U*U = Е Þ U* = U-1.

Достаточность: Пусть U* = U-1 Þ U*U = Е Þ (Х, У) = (Х, U*Uу) = (Ux, Uy), т. е. U – унитарный ▶

Примечание: U* = U-1 Û U*U = UU* = Е Û (Ux, Uy) = (X, Y).

В примечании приведено две эквивалентные формы записи условия унитарности оператора.

Нетрудно убедиться в том, что произведение унитарных операторов – унитарный оператор.

Def: Оператор L Называется унитарно подобным оператору L, если существует унитарный оператор U Такой, что L = U*LU,

Напомним, что – Называется коммутатором операторов А и В. При этом, если = 0, то А и В коммутирующие операторы.

Обозначим j = U*y.

Для унитарно подобных операторов выполняются следующие соотношения:

1) [L, M] = N Þ [L, M] = N; 2) L = L* Þ L = L*;

3) LY = ly Þ LJ = lj; 4) (LY1, y2) Þ (LJ1, j2).

< Предыдущая		Следующая >