11.2. Квадратичные формы в унитарном пространстве

Def: Квадратичной формой называют В(Х, Х), соответствующую полуторалинейной форме В(Х, У).

Тº. Пусть В(Х, У) – эрмитова форма в N-мерном унитарном пространстве V. Тогда в V

существует ортонормированный базис {Ek} и существуют вещественные числа λK,

что для "ХÎV в базисе {Ek}:

◀ В(Х, У) – эрмитова Þ В(Х, У) = (Aх, У), где А – эрмитов оператор. А – эрмитов Þ ${Ek} – собственный ортонормированный базис и λK – собственные числа оператора А

; .

Тогда: ▶

И еще одна теорема: о приведении пары квадратичных форм к каноническому виду:

Тº. Пусть А(Х, У) и В(Х, У) – эрмитовы формы в линейном пространстве V и, кроме

того, "ХÎV, Х ¹ q, В(Х, У) > 0. Тогда в V существует базис {Ek}, в котором:

.

◀ В(Х, У) – эрмитова, В(Х, У) > 0, "ХÎV, Х ¹ q. Из этих условий: В линейном пространстве V можно ввести скалярное произведение векторов Х и У по правилу: (Х, У) = В(Х, У).

После введения скалярного произведения пространство V станет унитарным и в нем, согласно предыдущей теореме, существует ортонормированный базис {Ek} и числа λK, что в этом базисе .

С другой стороны, так как базис ортонормированный, то И

В(Х, Х) = (Х, Х), т. е. В(Х, Х) = ▶

< Предыдущая		Следующая >