10.6. Положительные операторы. Корень M-й степени из оператора

Def: Эрмитов оператор А называется положительным, если "ХÎV, (Ax, X) ³ 0. Если, кроме того, из (Ax, X) = 0 Þ X = , то А называют положительно определенным оператором (Обозначается: A ³ 0, A > 0 соответственно).

Тº. Каждое собственное значение положительного (положительно определенного)

оператора неотрицательно (положительно).

◀ Если λ – собственное значение А, то $X такой, что ||X|| = 1, (Ax, X) = l (было доказано), отсюда следует утверждение теоремы ▶

Def: Корнем M-й степени из оператора А называется такой оператор В, что Вm = A.

Тº. Если А – положительный эрмитов оператор (А ³ 0), то "MÎN существует

положительный эрмитов оператор

◀ Пусть lK - собственные значения А (K =1, 2, 3,…, N) и {Ek} - ортонормированный собственный базис, (спектральное разложение) и при этом lK ³ 0. Рассмотрим оператор . Изучим свойства оператора В. Оператор В:

А) эрмитов:

;

Б) положителен:

;

в) . Теорема доказана. ▶

Примечание: В ортонормированном базисе {Ek} из собственных векторов матрица оператора А и матрица А1/M имеют вид: ,

.

< Предыдущая		Следующая >