10.2. Эрмитовы (самосопряженные) операторы

Def: Оператор "АÎL(V, V) действующий в унитарном пространстве Называется эрмитовым (самосопряженным) оператором, если А*=А.

Примечание: в евклидовом пространстве такой оператор называется самосопряженным.

Пусть А – произвольный линейный опреатор из L(V, V). Введем операторы АR и АI по правилу АR = ; АI = , тогда А = АR + IАI и кроме того:

А) (АRX, y) = (X, Y) = (X, ()*Y) = (X, Y) = (X, ARy);

Б) (АIX, y) = (()X, Y) = (X, ()*Y) = (X, Y) = (X, AIy);

Т. е. АR и АI эрмитовы.

Отсюда :

Т°. (о специальном представлении линейного оператора) "AÎL(V, V)

существуют эрмитовы операторы АR и АI такие, что А = АR + IАI (при

этом операторы АR и АI называются вещественной и мнимой частью

оператора А)

Def: Операторы A, BÎL(V, V) называются коммутирующими операторами если АВ = ВА.

Оператор Называется коммутатором операторов А и В, и при этом – это необходимое и достаточное условие коммутируемости операторов А и В.

Т°. Произведение эрмитовых операторов А и В будет эрмитовым оператором тогда

и только тогда когда операторы А и В коммутируют (т. е. АВ = ВА).

◀ Так как операторы А и В эрмитовы, то:

(АВ)* = В*А* = ВА (ф)

Тогда:

А) Если АВ = ВА, то из (ф) (АВ)*= АВ, т. е. оператор АВ – эрмитов.

Б) Если АВ эрмитов, то (АВ)*= АВ и из (ф) АВ = ВА т. е. операторы коммутируют ▶

Т°. Если А – эрмитов оператор, то "XÎV; (Ax, X)ÎR (здесь R - множество вещественных чисел).

◀ из свойств скалярного произведения (Ах, Х) = (Х, Ах) из эрмитовости оператора. Тогда , т. е. (Ax, X)ÎR ▶

Т°. Собственные числа эрмитового оператора вещественны.

◀ Пусть $XÎV, х ¹ 0 и $lÎС такие, что Ах = λХ. Тогда:

(Х, Х) ³ 0, l – вещественно ▶

Т°. Собственные векторы эрмитового оператора, отвечающие различным

собственным значениям – ортогональны.

◀ Пусть Ах1 = λ1Х1, Ах2 = λ2Х2 и .

Тогда (Ах1, Х2) = (λ1Х1, Х2) = λ1(Х1, Х2) равны как эрмитовы (Х1, Ах2) = (Х1, λ2Х2) = (Х1, Х2) = = λ2(Х1, Х2) и получено (λ1 – λ2)(Х1, Х2) = 0 Þ (Х1, Х2) = 0 ▶

< Предыдущая		Следующая >