10.1. Сопряженные и самосопряженные операторы в унитарном пространстве. Сопряженные операторы

Def: Оператор А*ÎL(V, V) называется оператором, сопряженным к оператору "АÎL(V, V), если "Х, уÎV; (Ах, У) = (Х, А*У).

Т°. Оператор, сопряженный к линейному – линеен.

◀ (Х, А*(a1У1 + a2У2)) = (Ах, a1У1 + a2У2) = (Ах, У1) + (Ах, У2) =

= (Х, А*у1) +(Х, А*у2) = (Х, a1А*у1) + (Х, a2А*у2) = (Х, a1А*у1+ a2А*у2) ▶

Т°. Любой линейный оператор имеет сопряженный и при этом только один.

◀ Так как (Ax, Y) – скалярное произведение в унитарном пространстве, то оно является полуторалинейной формой, которую мы обозначим - B(X, Y). Из теоремы о специальном представлении полуторалинейной формы следует утверждение теоремы (Ax, Y) = B(X, Y) = (X, A*Y) ▶

Свойства сопряженных операторов.

1° Е* = Е. ◀ (Ех, У) = (Х, У) = (Х, Еу) ▶

2° (А + В)*=А*+В*.

◀ ((А + В)Х, У) = (Ах + Вх, у) = (Ах, у) + (Вх, у) = (Х, А* у) + (Х, В* у) = (Х, (А* + В*)У) ▶

3° (lА)* = . ◀ (lАх, у) = l(Ах, у) = l(Х, А*У) = ▶

4° (А*)*=А. ◀ (А*Х, у) = = (Х, Ау) ▶

5° (АВ)*=В*А*. ◀ (АВх, У) = (А(Вх), У) = (Вх, А*У) = (Х, В*(А*)У) = (Х, В*А*У) ▶

6° (А–1)*=(А*)–1.

Примечание: в евклидовом пространстве также справедливо все то, что сказано о сопряженном операторе, но свойство 3° имеет вид: (lА)* = lА*

Примечание: физики очень часто обозначают А* как А+ (читается А – крест) и операцию Называют эрмитовым сопряжением.

< Предыдущая		Следующая >