09.2. Специальное представление полуторалинейных форм

Пусть "X, УÎV ® В(Х, У)ÎС такое, что

;

.

Тогда говорят, что в унитарном пространстве задана полуторалинейная форма В(X, Y).

(В евклидовом пространстве полуторалинейная форма становится билинейной).

Выберем в V базис {EI}.

"УÎV .

Действие формы В(X, Y) однозначно определенно если известны элементы Bij. Матрица В с элементами Bij, называется матрицей полуторалинейной формы.

Тº. Пусть В – полуторалинейная форма в V. Тогда существует единственный

линейный оператор АÎL(V, V) такой, что В(X, Y) = (X, Ay).

◀ . Оказывается

, т. е. "YÎV ® HÎV. Таким образом, определен оператор H = Ay.

Линейность:

(X, A(a1Y1 + a2Y2)) = B(X, a1Y1 + a2Y2) = B(X, Y1) + B(X, Y2) = (X, Ay1) + (X, Ay2) =

= (X, a1Ay1) (X, a2Ay2) = (X, a1Ay1+ a2Ay2), т. е. А(a1Y1 + a2Y2) = a1Ay1+ a2Ay2.

Единственность:

Пусть B(X, Y) = (X, A1Y) = (X, A2Y), тогда (X, A1Y – A2Y) = 0 Þ A1Y = A2Y "УÎV, т. е. A1 = A2 ▶

Тº. Пусть В – полуторалинейная форма в V. Тогда существует единственный

линейный оператор "АÎL(V, V) такой, что B(X, Y) = (Ax, Y).

◀ "ХÎV или, что тоже определен оператор А такой, что H = Ax. При этом (A(a1Х1 + a2Х2), У) = В(a1Х1 + a2Х2, У) = a1В(Х1, У) + + a2В(Х2, У) = a1(Ах1, У) + a2(Ах2, У) = (a1Aх1 + a2Aх2, У) = A(a1Х1 + a2Х2) = a1Aх1 + a2Aх2 т. е. оператор А линейный.

Его единственность доказывается как в предыдущей теореме ▶

Примечание: в вещественном пространстве теорема и ее доказательство также справедливы, но в доказательстве не ставится знак комплексного сопряжения.

Тº. Если B(X, Y) – полуторалинейная форма с матрицей В и А – линейный оператор

такой, что B(X, Y) = А(X, Y), то в ортонормированном базисе матрица В совпадает с

матрицей линейного оператора А.

◀ Пусть {Ei} ортонормированный базис V. Тогда

▶

Тº. Если B(X, Y) – полуторалинейная форма с матрицей В и А – линейный оператор

такой, что B(X, Y) = (X, Аy), то в ортонормированном базисе . Доказать самостоятельно.

Примечание: Если А1 – оператор из 1й теоремы о спец. представлении и А2 – из второй, то А1 =.

< Предыдущая		Следующая >