07.8 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Def: Вектор X ≠ q линейного пространства V называется Собственным вектором линейного оператора А если $l0ÎK такое что Ах = l0Х. Число l0 Называется собственным значением соответствующим собственному вектору X .
13°. Если V1 – одномерное инвариантное подпространство оператора А то каждый x ≠ q и ХÎV1 является собственным вектором оператора А и, притом, с одним и тем же собственным значением.
14°(обратное). Если X собственный вектор А то ℒ(X) инвариантно относительно оператора А.
◀ 1)13 V1 – одномерное подпространство с базисом {E}:
"ХÎV1 Þ Х = aЕ Þ Aх
= АеA = aАе = a
= lХÎV1 (любой X из V1 собственный) Þ Aх = lХ.
2)13 Если Aх1= lХ1Þ Пусть Х2 = aХ1 Þ Aх2 = A(aХ1) = aАх1 = alХ1= laХ1 =lХ2 (для всех X одно и тоже собственное значение).
3)14 Пусть Aх = lХ. Рассмотрим ℒ(X):
"УÎℒ(Х) Þ У = aХ Þ Ау =АAХ = aАх = alХ = bХÎℒ(Х). ▶
Задача. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора А.
Пусть x ≠ q и Aх = l0Х, т. е. X – собственный вектор оператора А, а λ0 – соответствующее ему собственное значение. Aх = l0Х тогда Aх = l0Х = (A – l0Е)Х = 0 имеем однородную систему N линейных уравнений с N неизвестными. Т. к. X ≠ q, то чтобы система имела нетривиальные решения необходимо, чтобы det(A – l0Е) = 0:
.
Раскрывая определитель, получим многочлен NЙ степени относительно λ, который Называется характеристическим многочленом оператора А: j(l).
¢ 13°. Характеристический многочлен j(l) оператора А не зависит от выбора базиса. ◀ ▶
Итак: Каждое собственное значение линейного оператора А является корнем его характеристического многочлена. Обратное утверждение справедливо в комплексном линейном пространстве и не справедливо в вещественном линейном пространстве для комплексных корней характеристического полинома.
Нахождение собственных векторов, соответствующих собственному значению λ0 сводится к решению (нахождению ненулевых решений) системы (A – l0Е)Х = 0.
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора А С матрицей 
.
Характеристический многочлен: 
, тогда собственные значения оператора А: λ1 = 6, λ2 = –1. Найдем собственные векторы:
1) λ1 = 6; 
;
2) λ2 = –1; 
.
¢ 14°. Если линейный оператор А Имеет N линейно-независимых собственных векторов E1, E2, …, En с собственными значениями λ1, λ2, …, λN то матрица оператора А будет в этом базисе иметь вид:
и наоборот: если в некотором базисе матрица имеет диагональный вид то векторы этого базиса являются собственными векторами оператора А.
15°. Собственные векторы линейного оператора А, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.
◀ Доказательство проведем методом математической индукции. Если собственный вектор только один, то утверждение теоремы, очевидно, справедливо.
Пусть утверждение справедливо для K – 1 векторов, т. е. что Х1, Х2, …, Хk–1 собственные векторы соответствующие λ1, λ2, …, λK–1 (различным) линейно независимы. И пусть Xk вектор собственный с собственными значениями λK ¹ λI (I = 1, 2, …, K – 1). Пусть
a1Х1 + a2Х2 + …+ aK–1Хk–1 + aK Хk = 0, (*)
Тогда применим к (*) оператор А: a1Aх1+…+ aKAхk = a1l1Х1 + … + aK–1lK–1Хk–1 + + aKLKхk = 0, теперь умножим (*) на λK: a1lKх1 + … + aK–1lKхk–1 + aKLKхk = 0 и вычтем из первого полученного равенства второе a1(l1 – lK)Х1 + a2(l2 – lK)Х2 +… + + aK–1(lK–1 –lK)Хk–1 = 0, т. к. Х1, Х2, …, Хk–1 линейно независимы и λK ¹ λI получаем: λ1 = λ2 = … = λK–1 = 0, подставляя в (*) получим λK= 0, т. е. λ1= λ2 = … = λK = 0 и следовательно Х1, Х2, …, Хk–1 – линейно независимы. ▶
Таким образом:
16°. Если линейный оператор имеет N различных собственных значений, то, отвечающие им собственные векторы образуют базис и в этом базисе матрица оператора имеет диагональный вид.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
