07.5. Ядро и образ линейного оператора

Пусть в линейном пространстве V задан линейный оператор А.

Множество M(A) º {YÎV½У = Ax, XÎV} Называется образом линейного оператора А.

Множество N(A) º {XÎV½Ax = 0} Называется ядром линейного оператора А.

Пример. Если в трехмерном геометрическом пространстве рассмотреть оператор A проектирования векторов на плоскость XOy , то сама плоскость XOy Будет образом линейного оператора, а ось Oz будет ядром этого же оператора.

3°. Образ линейного оператора А есть подпространство.

◀1) Пусть Ax1 = Y1, Ax2 = Y2Þ A(aX1 + bX2) = aY1 + bY2, т. е. если Y1, Y2ÎM(A)Þ aY1 + bY2ÎV.

2) Y = Ax = A(X + qX) = Ax + AQX = Y + qY Þ qY = q т. е. нейтральный элемент переходит в нейтральный. ▶

4°. Ядро линейного оператора А есть подпространство. ◀ ▶

Если N(A) = {q} то оператор А Называется невырожденным.

5°. DimM(A) = rangA = R; dimN(A) = N – R; dimV = dimM(A) + dimN(A).

Доказать самостоятельно

Величина (N – R) т. е. размерность ядра линейного оператора Называется дефектом линейного оператора.

< Предыдущая		Следующая >