01.21.Матрицы и действия над ними. Линейное пространство матриц

Матрицей N ´ M Называется прямоугольная Таблица , где Аij – принадлежат некоторому числовому полю K и называются элементами матрицы A или матричными элементами А. Иногда пишут Аnm. Здесь индексы определяют размеры матрицы А (1й – количество строк, 2й – количество столбцов). Матрицы А и В Называются равными (А = В), если их размеры совпадают и Аij = Bij.

На множестве матриц одинаковых размеров можно определить операцию сложения: C = A + B так, что Cij = Аij + Bij, и операцию умножения на скаляр из внешнего поля К: D = a×A Û Dij = a×Аij.

1°. Множество матриц Аnm с так определенными операциями поэлементного сложения и умножения на скаляр образуют линейное пространство Кnm. Доказать самостоятельно.

При этом dimKnm = N×M, а базис образуют матрицы Eij , у каждой из которых элемент, стоящий на пересечении I-Ой строчки и j-ого столбца равен 1, а остальные элементы равны 0. Нейтральным элементом является матрица Q у которой все элементы равны 0.

Если у матрицы Аnm N = m ,то матрица А Называется квадратной, а число N Называют порядком этой матрицы. При этом если для еe элементов Аij = Аji – Матрица называется симметрической (или симметричной), а если Аij = –Аji, то Матрица называется кососимметрической (или кососимметричной).

2°. Всякая квадратная матрица может быть разложена в сумму симметрической и кососимметрической матрицы.

◀ Пусть матрица Аnm задана своими элементами: Anm = (Аij), I = 1, 2, …, N, J = 1, 2, …, M. Построим матрицы Snm и Элементы, которых связаны с Аij следующими соотношениями . При этом Sij = Sji и . Т. е. матрицы Snm И Соответственно симметричная и кососимметричная. Кроме того

, т. е. А = S +. ▶

3°. Множество симметричных (кососимметричных) матриц порядка N образуют линейное пространство. Самостоятельно установите базис и размерность этих пространств.

< Предыдущая		Следующая >