01.20. Прямая сумма подпространств

Сумма L1 + L2 Называется прямой суммой (и обозначается L1⊕L2), если представление Х = х1 + х2 (Х1ÎL1, х2ÎL2) единственно для любого ХÎV.

32°. Чтобы L1 + L2 была прямой необходимо и достаточно чтобы:

a) L1∩L2 = q или б) dimV = dimL1 + dimL2.

◀ a) Необходимость. Пусть сумма L1 + L2 прямая и пусть $Z0 ¹ q и Z0ÎL1∩L2. Тогда х = х1+ х2 = (Х1+ z0 ) + ( х2 – Z0 )= х¢1 + х¢2 т. е. разложение X в сумму неоднозначно. Это противоречит тому, что сумма прямая.

Достаточность. L1∩L2 = q пусть Х = х1 + Х2 и х = y1 + y2,

х – х = х1 – Y1 + х2 – Y2 = q Þ Þ Х1 – Y1 = Y2 – Х2 ÎL1∩L2 Þ

Þ Х1 – Y1 = q и Х2 – Y2 = q, т. е. Х1 = Y1 и Х2 = Y2.

Б) Необходимость. L1⊕ L2 Þ L1∩L2 = q, dimV = dimL1 + dimL2 – DimL1∩L2 = dimL1 + dimL2.

Достаточность. Если dimV = dimL1 + dimL2 Þ dimL1∩L2 = 0, т. е. L1∩L2 = q. ▶

Если V = L1⊕L2 Þ "XÎV Существует единственное представление: Х = х1 + х2 (Х1ÎL1, Х = L2).

Х1 Называется проекцией х На L1, параллельно подпространству L2 ( х).

Х2 Называется проекцией х На L1, параллельно подпространству L1 (Х).

Подпространство L2 Называется дополнением L1 к V и наоборот.

33°. "L1ÌV существует L2 такое, что L1⊕L2 = V. Доказать самостоятельно.

34°. Если L1⊕L2 = V И dimV = N, dimL1 = k, то dimL2 = n – k .

Доказать самостоятельно. Величина dimV - DimL1 = N – k Называется коразмерностью подпрострарства L1 и обозначается CodimL1 .

< Предыдущая		Следующая >