01.13. Базис линейного пространства. Его размерность

Система векторов E1, E2, …, enÎV Называется базисом пространства V, если эта система векторов линейно независима и полна в V.

17°. Минимальный полный в V набор векторов является базисом.

◀ Докажем линейную независимость E1, E2, …, en.

Если они линейно зависимы, то, по крайней мере, один из векторов может быть записан как линейная комбинация остальных: En = a1E1 + a2E2 +…+ aN–1En–1, следовательно, E1, E2, …, en – 1, Полный набор, что противоречит минимальности исходного набора. ▶

18°. Максимальный линейно независимый в V набор является базисом.

◀ Докажем полноту набора E1, E2, … , en. Допустим, набор не полон. Тогда $XÎV который не выражается как линейная комбинация E1, E2, … , en, тогда система X, E1, E2, … , en Линейно независима, что противоречит максимальности исходного набора. ▶

19°. Всякое линейное пространство (кроме V º {q}) имеет базис.

◀ Доказательство можно провести построением: а) минимального полного набора или б) максимального линейно независимого набора. ▶

20°. Все базисы линейного пространства содержат одно и то же количество векторов.

◀ Пусть в пространстве V имеется два базиса и :

1) – полный, а – линейно независимый, тогда M ≤ N ( т. 16°);

2) – линейно независимый, а – полный, тогда N ≤ M (т. 16°) Получаем M = N. ▶

Количество векторов в базисе называется размерностью пространства V и обозначается dimV.

21°. Чтобы линейно независимая система векторов была базисом необходимо и достаточно, чтобы количество векторов в этой системе равнялось размерности пространства

N = dimV. Доказать самостоятельно.

22°. Чтобы полная система векторов была базисом, необходимо и достаточно, чтобы количество векторов в этой системе равнялось размерности пространства N = dimV.

Доказать самостоятельно.

< Предыдущая		Следующая >