01.12. Связь между полярными и линейно независимыми наборами векторов

16°. Если E1, e2, …, em – линейно независимая, а F1, F2, …, Fn – полная системы векторов, то M £ N.

◀ Доказательство теоремы проведем от противного.

Допустим, что M > N (т. е. в полном наборе меньше векторов, чем в линейно независимом).

1) F1, F2, …, Fn – полная система. Тогда E1, F1, F2, …, Fn – полная и линейно зависимая, ибо E1 выражается через остальные E1 = b1F1 + b2F2 + … + bNfN.

При этом, по меньшей мере, одно из bI ¹ 0, ибо в противном случае E1= q, что противоречит линейной независимости векторов. Не ограничивая общности можно считать, что b1 ¹ 0, тогда F1 выражается через остальные векторы и его можно удалить из полной системы, не нарушая ее полноты.

Получена новая полная система векторов E1, F2, F3, …, Fn.

2) e1, F2, …, Fn – полная система. Тогда E1, E2, F2, …, Fn – полная и линейно зависимая, ибо E2 выражается через полную систему E2 = a1E1 + b2F2 + b2F2 + …+ + bNfN. При этом, по меньшей мере, одно из bI ¹ 0, ибо в противном случае вектор E2 выразится через вектор E1, что противоречит линейной независимости системы E1, E2, …, Em. Пусть b2 ¹ 0, тогда F2 может быть выражено через остальные и его можно «прополоть».

Получится новая полная система векторов E1, E2, F3, F4, …, Fn.

3). Аналогично последовательно построим полные системы векторов

E1, E2, E3, F4, F5, …, Fn

E1, E2, E3, E4 , F5, …, Fn

…………………………………

E1, E2, E3, E4 , E5 , …, En.

4). Полнота системы E1, E2, E3, …, En Противоречит линейной независимости более широкой системы E1, E2, …, en , en+1, …, em. Полученное противоречие доказывает теорему. ▶

< Предыдущая		Следующая >