01.11. Линейно независимые системы векторов

Система векторов {E1, E2, …, En} Называется линейно независимой, если тогда и только тогда, когда a1= a2 =… = aN = 0.

Если, при , хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, то система векторов Называется линейно зависимой.

Можно выделить следующие свойства линейно зависимых систем векторов:

11°. Система, состоящая из одного вектора X, линейно зависима тогда и только тогда, когда X = q.

◀ а) Система линейно зависима Þ $a ¹ 0 | a⊙X = q Þ X = q (т. 6°);

б) X = q. Возьмем a = 1 Þ aX = aq = q (т. 5°). ▶

12°. Набор векторов {E1, E2, …, Ek,q} содержащий q, линейно зависим.

◀ 0⊙E1, 0⊙E2, …, 0⊙En + 1⊙q = q. Так как записанная линейная комбинация содержит коэффициент не равный нулю, то система линейно зависима. ▶

13°. Если хотя бы один вектор из системы выражается как линейная комбинация других, то система векторов линейно зависима (и наоборот).

◀ Пусть есть система векторов E1, E2,…, En–1, En и пусть En = a1E1+ a2E2 + … + aN –1En –1. Тогда либо En = q и система линейно зависима, либо En ¹ q и тогда набор a1, a2, … aN–1 нетривиален, т. е. 1⊙ En– a1E1 – a2E2 –…– aN–1En–1 = q при нетривиальном наборе коэффициен-

Тов. Следовательно, система линейно зависима. ▶

14°. Если система векторов линейно зависима, то, по крайней мере, один из векторов может быть представлен как линейная комбинация остальных.

◀ Так как система векторов линейно независима, то существует нетривиальный набор a1, a2, …, aN такой, что a1E1+ a2E2 +…+ aNen = q. Пусть aN ¹ 0. Тогда . ▶

15°. Любая часть линейно независимого набора векторов линейно независима.

◀ Пусть E1, E2, … , Ek, Ek + 1, …, En линейно независима. Рассмотрим равенство a1E1 + a2E2 + …+ aKek + aK +1 + Ek +1 +… + aNen= q. В силу линейной независимости оно выполнено тогда и только тогда, когда a1= a2= …= aN = 0. Положив aK +1, aK +2, …, aN равными 0 получим: a1E1+ a2E2 +…+ aKek = = q Þ a1= a2= …= aK = 0. Т. е. система E1, E2, … , Ek линейно независима. ▶

Если пространство V не есть {q}, то в нем есть, по меньшей мере, один ненулевой вектор. Т. е. если V ¹ {q}, то в нем существует линейно независимая система векторов.

Используя процесс «посадки» (добавления в линейно независимую систему векторов, других векторов пространства, не нарушающих свойство линейной независимости) можно построить в пространстве максимальный линейно независимый в V набор векторов.

< Предыдущая		Следующая >