01.10. Полные системы векторов

Если в пространстве V существует конечный набор векторов такой что, ℒº V, то система векторов Называется полной системой в V, а пространство Называется конечномерным. Таким образом, система векторов E1, E2, …, EnÎV называется полной в V системой, т. е. если

"ХÎV $ a1, a2, … aNÎK такие, что X = a1E1 + a2E2 + … + aNen.

Если в пространстве V не существует конечной полной системы (а полная существует всегда – например, множество всех векторов пространства V), то пространство V Называется бесконечномерным.

9°. Если полная в V Система векторов и Y ÎV, то {E1, E2, …, En, Y} – также полная система.

◀ Достаточно в линейных комбинациях коэффициент перед Y брать равным 0. ▶

10°. Пусть {E1, E2, …, En} полный в V набор векторов, т. е. ℒ(E1, E2, …, En) º V И пусть $ a1, a2, … aN, такое, что En = a1E1 + a2E2 + … + aN –1En –1. Тогда набор E1, E2 , …, En –1, тоже полный, т. е. ℒ(E1, E2 , …, En) º ℒ(E1, E2 , …, En –1) º V.

◀ {E1, E2, …, En} – полный Þ"ХÎV $b1, b1, …, bN, что X = B1E1+ b2E2 +…+ bN En=

= b1E1 + b2E2 + … + bN –1En –1 + bN(a1E1 + a2E2 + … + aN –1En –1) =

= (b1 + bNA1) e1 + (b2 + bNA2) e2 + … + ( bN –1 + bNAN –1) en –1 что и требовалось доказать. ▶

Используя, основанный на теореме 10°, процесс «прополки» (выбрасывание векторов, являющихся линейными комбинациями других векторов системы) можно построить минимальный полный набор векторов в пространстве V.

< Предыдущая		Следующая >