01.09. Линейная комбинация векторов. Линейная оболочка системы векторов

Пусть векторы E1, e2, … enÎV и a1, a2, … aNÎK.

Вектор X = a1E1 + a2E2 + … + aNen = Называется линейной комбинацией векторов E1, E2, … , En с коэффициентами a1, a2, … aN.

Если все коэффициенты в линейной комбинации равны нулю, то линейная комбинация Называется тривиальной.

Множество всевозможных линейных комбинаций векторов Называется линейной оболочкой этой системы векторов и обозначается:

ℒ(E1, E2, …, En) = ℒ.

8°. ℒ(E1, E2, …, En) является линейным пространством.

◀ Корректность операций сложения и умножения на скаляр следует из того, что ℒ(E1, E2, …, En) – это множество Всевозможных линейных комбинаций. Нейтральный элемент – это тривиальная линейная комбинация. Для элемента Х = противоположным является элемент –X =. Аксиомы, которым должны удовлетворять операции, также выполнены. Таким образом, ℒ(E1, E2, …, En) является линейным пространством.

Любое линейное пространство содержит в себе в, общем случае, бесконечное множество других линейных пространств (подпространств) – линейных оболочек ▶

В дальнейшем мы постараемся ответить на следующие вопросы:

1) Когда линейные оболочки разных систем векторов состоят из одних и тех же векторов

(т. е. совпадают)?

2) Какое минимальное число векторов определяет одну и ту же линейную оболочку?

3) Является ли исходное пространство линейной оболочкой некоторой системы векторов?

< Предыдущая		Следующая >