5.1. Лiнiйнi оператори. Визначення та приклади

Визначення 5.1. Нехай і – два лінійних простори. Лінійним оператором, що діє з в , називають відображення , , , яке задовольняє умові

, ; .

Сукупність всіх тих , для яких відображення визначено, називають Областю визначення оператора.

Взагалі не передбачається, що , однак, як правило, вважають, що – лінійний многовид, тобто

, , .

Далі будемо вважати, що , – нормовані простори, хоча деякі резуль-тати переносяться на топологічні простори.

Визначення 5.2. Оператор називається неперервним, якщо для будь-якого існує таке, що з нерівності

Витікає

.

Множина таких, що , називається Ядром оператора і позначається .

Множина всіх , для яких при деякому , називається Образом лінійного оператора і позначається . Ядро і образ є лінійними многовидами. Якщо , то – підпростір, тобто замкнений.

Приклад 5.1. Оператор , заданий формулою для всіх , називається Тотожним або Одиничним оператором.

Приклад 5.2. Оператор , заданий формулою для всіх , називається Нульовим оператором.

Очевидно, що оператори та є лінійними і неперервними.

Приклад 5.3. Нехай , ; – базис в , – базис в . Якщо , то . В силу лінійності маємо . Таким чином, оператор задано, якщо відомо, у що він переводить вектори . Розкладемо вектори на базиси . Маємо

.

Звідси виходить, що будь-який оператор задається матрицею , , . Крім того, будь-який лінійний оператор у скінченно-вимірному просторі є неперервним.

Приклад 5.4. Розглянемо гільбертів простір і в ньому підмножину . Скористаємося теоремою 3.4. Тоді будь-який елемент предста-вимо у вигляді

, , ^.

Припустимо, що . Оператор називається оператором Ортого-Нального проектування. Він лінійний і неперервний.

Приклад 5.5. Розглянемо у просторі оператор, визначений за правилом: кожній функції ставиться у відповідність функція

,

Де – неперервна функція. Цей оператор лінійний і неперервний.

Приклад 5.6. У тому самому просторі розглянемо оператор

,

Де – фіксована неперервна функція. Цей оператор також лінійний
і неперервний.

Приклад 5.7. Розглянемо у просторі функцій оператор

.

Цей оператор визначений не на всьому просторі, а тільки на лінійному многовиді диференційованих функцій. Таким чином, – множина дифе-ренційованих функцій. Оператор – лінійний, але не є неперервним. Дійсно, послідовність збігається у метриці до нуля. З іншого боку до нуля не збігається.

Приклад 5.8. Розглянемо простір неперервно диференційованих функцій з нормою

.

Оператор , визначений у прикладі 5.7, переводить в .
У цьому випадку він лінійний і неперервний.

Приклад 5.9. Для того щоб оператор можна було використовувати кілька разів, розглядають простір всіх нескінченно диференційова-них функцій з нормою

.

Тоді переводить простір Сам у себе і є неперервним.

< Предыдущая		Следующая >