5.2. Обмеженість і неперервність операторів
Визначення 5.3. Лінійний оператор, діючий із в
, називається Обмеженим, якщо він переводить обмежену множину знову в обмежену і визначений на всьому
.
Теорема 5.1. Лінійний оператор, визначений на всьому , неперервний тоді й тільки тоді, коли він обмежений.
В силу лінійності оператора обмеженість означає існування такого
, що для всіх
виконується
. (5.1)
Найменше з , що задовольняє нерівність (5.1), називається Нормою оператора
і позначається
.
Теорема 5.2. Для будь-якого обмеженого оператора
. (5.2)
Оператори можна додавати і перемножати. Нехай і
– два лінійні оператори, що діють із
в
. Сума і множення на число визначаються:
1),
2).
Крім того, якщо і
неперервні, то
і
також неперервні оператори, причому
.
Таким чином, множина всіх лінійних обмежених операторів, діючих із в
, утворює лінійний нормований (з нормою (5.2)) простір, який познача-ється
.
Теорема 5.3. Нехай простір банахів, тоді й
також банахів.
Розглянемо тепер добуток операторів. Нехай діє з
в
, а оператор
діє з
в
. Добутком
називають оператор
, який ставить у відповідність елементу
елемент
. Область визначення
оператора
складається з тих самих
таких, що
. Оператор
лінійний, якщо
і
лінійні, неперервний (обмежений), якщо
і
неперервні (обмежені). При цьому справедлива оцінка
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|