4.4. Слабка й сильна топології

Розглянемо нормований лінійний простір . Сильною топологією нази-вається топологія, яка визначена нормою .

Для визначення топології в лінійному просторі досить задати систему околів нуля. Будь-яка точка буде мати таку саму систему зі зсувом на елемент . Ці околи визначатимуть базу топології. Для сильної топології відкритими є множини вигляду

, . (4.4)

Збіжність у сильній топології називається сильною збіжністю або збіж-ністю за нормою, тобто , якщо .

Нехай – довільний скінченний набір неперервних лінійних функціоналів, . Розглянемо тільки ті околи нуля, що мають вигляду

(4.5)

Побудована за цими околами топологія називається Слабкою. Множину виду (4.4) не можна представити у вигляді (4.5). Тому слабка топологія має менше відкритих множин, ніж сильна.

Збіжність у слабкій топології називається слабкою збіжністю і її мож-
на описати наступним чином. Послідовність слабо збігається до ,
якщо для будь-якого неперервного лінійного функціоналу виконується .

Очевидно, що зі слабкої збіжності не витікає сильна. Навпаки, з сильної збіжності витікає слабка.

Слабка топологія є найслабшою, якщо в ній усі, визначені вище непе-рервні лінійні функціонали, залишаються неперервними.

Теорема 4.3. Нехай – опукла підмножина нормованого простору . Тоді замикання в слабкій топології співпадає із замиканням у сильній топології.

Це означає, що якщо сильно замкнена й опукла, то вона й слабо замкнена. Опуклість тут грає вагому роль, оскільки сильно замкнених множин більше, ніж слабко замкнених.

Теорема 4.4. Нехай – нормований простір. Якщо слабко збіга-ється до , то в знайдеться послідовність така, що:

1) кожен вектор є опуклою комбінацією скінченного числа векто-
рів ;

2) збігається до у сильній топології.

Теорема 4.5. Якщо слабко збігається в нормованому просторі , то існує таке , що , , тобто ця послідовність обмежена в сильній топології.

Приклад 4.9. В слабка топологія співпадає з сильною. У нескінченно-вимірних просторах це не так.

Приклад 4.10. Розглянемо простір , послідовність і точку . Послідовність слаб-ко збігається до , якщо для будь-якого . Не-
важко побачити, що послідовність , , , … слабко збігається до нуля. З іншого боку, для будь-якого , , значить, послідовність не збігається сильно до нуля.

Розглянемо слабку топологію у спряженому просторі. Вона вводиться за допомогою системи околів нуля вигляду

. (4.6)

Тут , – будь-який скінченний набір точок із ,. Така топологія називається Слабкою* топологією. Оскільки , то в (4.6) використовуються не всі точки з , отже слабка* топологія слабша слабкої для простору . Вони співпадатимуть у випадку рефлексивності простору , тобто коли .

Слабка* збіжність функціоналів до функціоналу озна-чає, що для кожного виконується , тобто збіжність повинна бути поточковою.

Теорема 4.6. Нехай – банахів простір, послідовність функ-ціоналів із слабко* збігається. Тоді існує таке , що , , тобто послідовність обмежена в сильній топології простору .

Далі будемо вважати, що – нормований сепарабельний простір.

Теорема 4.7. Будь-яка обмежена послідовність неперервних лінійних функціоналів на містить слабко* збіжну послідовність.

Теорема 4.8. Будь-яка обмежена множина є передкомпактною в слабкій* топології.

Теорема 4.9. Замкнений шар в компактний у слабкій* топології.

< Предыдущая		Следующая >