4.2. Теорема Хана-Банаха

Теорема 4.1. Нехай – нормований простір, – його підпростір і – обмежений лінійний функціонал на . Цей функціонал може бути продов-жений до деякого лінійного функціоналу на всьому просторі без збіль-шення норми, тобто

, ,

.

Ця теорема дає важливі наслідки, які покладено в основу багатьох результатів теорії оптимізації. Мова йде про теореми відокремлення.

Наслідок 4.1. Нехай і опуклі підмножини з нормованого простору , причому Æ і Æ. Тоді існує неперервний лінійний функціонал , який розділяє їх, тобто

.

Наслідок 4.2. Нехай замкнена опукла підмножина нормованого прос-тору і . Тоді існує неперервний лінійний функціонал , який строго розділяє їх, тобто

.

Нагадаємо, що називається Опуклою множиною, якщо для будь-яких і чисел , виконується

.

Наслідок 4.3. Для будь-якого власного підпростору банахового прос-тору існує ненульовий неперервний лінійний функціонал , який дорів-нює нулю на , тобто , .

Наслідок 4.4. Якщо – елемент нормованого простору , то існує такий неперервний лінійний функціонал на , що , .

< Предыдущая		Следующая >