4.1. Неперервні лінійні функціонали. на нормованих просторах

Визначення 4.1. Нехай – лінійний нормований простір. Будь-яке від-ображення називається функціоналом; є ліній-ним, якщо виконуються умови:

1), ;

2), , .

Розглянемо лінійні неперервні функціонали. Виявляється, що лінійний функціонал неперервний на всьому , якщо він неперервний хоча б в одній точці. За таку точку можна обрати нуль. Тоді одержуємо умову неперервності функціонала : Неперервний, якщо існує така константа , що

, . (4.1)

Це означає також, що неперервний, якщо він обмежений на деякому обмеженому околі нуля.

Поняття норми функціоналу можна ввести двома еквівалентними способами.

1-й спосіб:

,

Де задовольняє (4.1) для всіх .

2-й спосіб:

. (4.2)

Формулу (4.2) можна переписати у вигляді

.

Очевидно також, що

.

Приклад 4.1. Розглянемо простір і нехай – фіксований вектор. У цьому випадку всі лінійні функціонали мають вигляд

.

Тут усі лінійні функціонали будуть неперервними.

Приклад 4.2. Розглянемо простір . Нехай – фіксо-вана послідовність з . Тоді

Є неперервним лінійним функціоналом.

Приклад 4.3. Розглянемо простір неперервних функцій , . Звичайний інтеграл

Є неперервним лінійним функціоналом. Задамо функцію . Тоді неперервним лінійним функціоналом буде інтеграл

.

Врешті-решт таким самим функціоналом буде інтеграл Стільтєса

Для фіксованої .

Приклад 4.4. У просторі неперервним лінійним функціоналом буде інтеграл

,

Де – фіксована функція.

< Предыдущая		Следующая >