3.5. Комплексні евклідові простори

При визначенні комплексного евклідового простору вноситься поправка до першої аксіоми (див. визначення 3.4), а саме, припустимо

.

Якщо раніше з другої і першої аксіом витікало

і ,

То тепер маємо

, але .

Тепер – комплексне число.

Повний комплексний нескінченновимірний евклідів простір називається гільбертовим. Як правило, припускається також, що він буде сепарабельним.

Приклад 3.23. Комплексний простір . На відміну від дійсного простору у цьому випадку скалярний добуток вводиться за формулою

.

Приклад 3.24. У комплексному просторі скалярний добуток задається формулою

.

У комплексному випадку є дійсним числом, . Норму вводять за формулою

.

Теорема 3.5. Всі сепарабельні комплексні гілбертові простори ізоморфні комплексному простору .

Як і раніше, можна показати, що в комплексному випадку простори , , , , не є евклідовими.

< Предыдущая		Следующая >