3.4. Підпростори в гільбертовому просторі

Як правило, у функціональному аналізі розглядають сепарабельні гільбертові простори. Позначають їх буквою .

Як і раніше, підпростори гільбертового простору розуміють як замк-нені простори.

Теорема 3.3. В кожному підпросторі міститься ортонормована система , лінійне замикання якої співпадає з .

Позначимо через M^ множину всіх елементів , ортогональних до всіх елементів , тобто

M^ .

Множина M^ називається Ортогональним доповненням підпростору в . Не важко побачити, що M^ теж є підпростором.

Теорема 3.4. Нехай – лінійний підпростір в . Тоді будь-який елемент Єдиним чином можна представити у вигляді , де , M^.

Ця теорема є прямим узагальненням аналогічного результату для скінчен-новимірного випадку.

Кажуть, що – Пряма сума підпросторів і M^ і пишуть:

M^.

Поняття прямої суми може бути узагальнене для будь-якого скінченого
і навіть зліченного числа підпросторів.

Кажуть, що є прямою сумою своїх підпросторів

,

Якщо:

1) всі попарно ортогональні;

2) будь-який елемент єдиним чином можна представити у вигляді

,

Де . Причому, якщо ряд нескінченний, то є рядом, який збігається.

Має місце рівність

.

Із теореми 3.4 витікають наступні факти.

1. Доповненням до M^ є .

2. Кожна ортонормована система може бути розширена до системи, повної в .

< Предыдущая		Следующая >