3.1. Лінійні простори

Поняття лінійного простору є одним із головних у математиці. Такі прос-тори розглядаються в курсі лінійної алгебри. Однак, лінійна алгебра має справу лише зі скінеченновимірними просторами. Тут же будуть розглядатися також і нескінченновимірні простори.

Визначення 3.1. Множина називається лінійним або векторним прос-тором, якщо вона задовольняє наступним умовам:

I. Для будь-яких двох елементів однозначно визначений третій елемент , який називається їх сумою і позначається , причому:

1) (комутативність);

2) (асоціативність);

3) в існує такий елемент 0, що для всіх (існування нуля);

4) для кожного існує такий елемент , що (існування протилежного елемента).

II. Для будь-якого числа і будь-якого елемента визначений елемент (добуток числа на елемент ), причому:

1);

2);

3);

4).

В залежності від того, який запас чисел (дійсні чи комплексні) викорис-товується, розрізняють дійсні і комплексні лінійні простори. У загальному випадку можна розглядати лінійні простори над довільним полем. Всюди, де не оговорено протилежне, зроблені нижче побудови справедливі як для дійсних, так і для комплексних просторів.

Приклад 3.1. Пряма лінія , тобто сукупність дійсних чисел зі звичай-ними арифметичними операціями, представляє собою лінійний простір.

Приклад 3.2. Сукупність можливих наборів з дійсних чисел , де додавання і множення на число визначається формулами

,

,

Є лінійним простором. Він називається -вимірним дійсним арифметичним простором і позначається . Аналогічно комплексний -вимірний арифме-тичний простір визначається як сукупність наборів комплексних чисел з множенням на будь-які комплексні числа. Такий простір позначається .

Приклад 3.3. Неперервні (дійсні або комплексні) функції, визначені на відрізку зі звичайними операціями додавання і множення на число, утворюють лінійний простір .

Приклад 3.4. Простір , в якому елементами є послідовності чисел (дійсних або комплексних), що задовольняють умову:

,

З операціями

,

Є лінійним простором.

Приклад 3.5. Збіжні послідовності з тими самими опе-раціями, що й у прикладі 3.4, утворюють лінійний простір. Позначається як .

Приклад 3.6. Послідовності, збіжні до нуля, утворюють лінійний простір, Позначається як .

Приклад 3.7. Сукупність усіх обмежених послідовностей із тими самими операціями, що й у прикладі 3.4, утворює лінійний простір .

Приклад 3.8. Сукупність можливих числових послідовностей з тими самими операціями утворює лінійний простір.

Важливим поняттям є ізоморфізм лінійних просторів.

Визначення 3.2. Лінійні простори і називаються Ізоморфними, якщо існує таке взаємно однозначне відображення простору на простір , що для будь-яких і числа виконується умова

,

.

Ізоморфізм простору можна розглядати як різні реалізації одного й того самого простору. Прикладом ізоморфних просторів можуть бути -вимірний простір і простір усіх многочленів степені, меншої , з дійсними коефіцієнтами.

Розглянемо питання про вимірність просторів. Елементи лінійного простору називаються Лінійно залежними, якщо існують числа , які не всі дорівнюють нулю такі, що

. (3.1)

У протилежному випадку ці елементи називаються Лінійно незалежними, тобто лінійно незалежні, якщо з (3.1) виходить .

Нескінченна система елементів простору називається Лінійно незалежною, якщо будь-яка її скінченна підсистема лінійно незалежна.

Якщо в можна знайти лінійно незалежних елементів, а будь-які елементів цього простору лінійно залежні, то говорять, що простір має вимірність , . Базисом в -вимірному просторі називається будь-яка лінійно незалежна система, складена з елементів.

Якщо в можна визначити систему з довільного скінченного числа лінійно незалежних елементів, то говорять, що простір Нескінченно-вимірний.

У прикладі 3.1 простір одновимірний, у прикладі 3.2 простори
і – -вимірні, в решті прикладів простори нескінченновимірні.

Непорожня підмножина лінійного простору називається Підпрос-тором, якщо вона сама утворює лінійний простір по відношенню до визначених в операцій. Інакше кажучи, є підпростором, якщо для будь-яких і чисел , виконується .

У будь-якому лінійному просторі існує простір, складений з нуля – Нульовий простір. Інакше, простір можна розглядати як свій підпростір. Підпростір, який відрізняється від і містить хоча б один ненульовий елемент, називається Власним.

Приклад 3.9. Нехай – лінійний простір, , . Сукупність еле-ментів , де пробігає всі числа, утворює одновимірний підпростір. Якщо, то цей підпростір буде власним.

Приклад 3.10. Розглянемо в просторі неперервних функцій множину всіх многочленів. Множина є власним підпростором в .

Приклад 3.11. Розглянемо простори , , , і (приклади
3.4 – 3.8). Кожен із них є власним підпростором наступного.

Нехай довільна непорожня множина елементів лінійного простору . Найменший підпростір, який містить , називається Підпростором, породженим множиною або Лінійною оболонкою множини і позначається або .

< Предыдущая		Следующая >