2.5. Компактність

Фундаментальну роль у математичному аналізі грає такий факт: із будь-якого відкритого покриття відрізка можна виділити скінченне підпо-криття. Ця властивість узагальнюється в поняття компактності.

Визначення 2.6. Топологічний простір називається Компактним, якщо будь-яке його відкрите покриття містить скінченне підпокриття.

Компактний топологічний хаусдорфів простір називається Компактом.

Теорема 2.8. Замкнена підмножина компактного простору є компактною.

Наслідок 2.2. Замкнена підмножина компакту є компактом.

Теорема 2.9. Компакт замкнений у будь-якому хаусдорфовому просторі, який його містить.

Теорема 2.10. Нехай – компактний простір, , – послі - довність в . Тоді існує збіжна підпослідовність , .

Для просторів зі зліченною базою існує обернена теорема.

Теорема 2.11. Нехай – хаусдорфів простір зі зліченною базою і з будь-якої послідовності можна вибрати збіжну послідовність. Тоді
– компакт.

Теорема 2.12. Будь-який компакт є нормальним простором.

Тепер розглянемо неперервне відображення компактних множин.

Теорема 2.13. Неперервний образ компактного простору є компактним простором.

Теорема 2.14. Взаємно однозначне і неперервне відображення компакта на хаусдорфів простір є гомеоморфізмом.

Доведемо для прикладу цю теорему. Виходячи з її умови досить довести неперервність . Скористуємося наслідком 2.1. Нехай – замкнена множина в і – її образ. Із наслідку 2.2 множина є компактом. За теоремою 2.13 множина також є компактом. Із теореми 2.9 витікає, що – замкнена множина. Теорему доведено.

Теорема 2.15. Нехай – компактний простір, – неперервна в ньому числова функція. Тоді – обмежена на і досягає свого максимуму та мінімуму.

Доведення. Образ є компактною підмножиною простору . Із курсу математичного аналізу відомо, що в компактними є обмежені й замкнені множини. Звідси витікає, що множина має верхню й нижню межі, тобто існує і .

Якщо множина , яка лежить у хаусдорфовому просторі, не замкнена, то вона не може бути компактною (теорема 2.9). Однак, для опису компактності існує поняття передкомпактності.

Визначення 2.7. Множина , яка лежить у деякому топологічному просторі , називається Передкомпактною, якщо її замикання в є компактним.

Приклад 2.5. Будь-яка обмежена множина на прямій є передкомпактною, оскільки її замикання – завжди компакт.

< Предыдущая		Следующая >