2.4. Метризація

Найпростіший спосіб задання топології полягає в тому, щоб описати всі відкриті множини або хоча б задати базу топології.

Задання метрики є одним із універсальних способів введення топології.

Розглянемо попередньо деякі питання відокремлення. Існує кілька аксіом відокремлення. Зупинимося на двох із них.

Аксіома Хаусдорфа. Будь-які дві точки і топологічного простору мають околи і , що не перетинаються.

Простори, в яких виконується аксіома Хаусдорфа, називаються хаусдор-фовими. Зокрема, у цих просторах будь-яка точка є замкненою множиною.

Аксіома нормальності. Нехай – довільні замкнені множини такі, що Æ. Тоді існують дві відкриті множини і такі, що , і Æ, тобто околи двох замкнених множини, що не перетинаються, також не перетинаються.

Такий простір називається Нормальним.

Визначення 2.5. Топологічний простір називається Метризуємим, якщо його топологію можна задати за допомогою будь-якої метрики.

Теорема 2.7. (Урисона). Для того, щоб топологічний простір зі зліченною базою був метризуємим, необхідно й достатньо, щоб він був нормальним.

< Предыдущая		Следующая >