2.3. Неперервні відображення

Поняття неперервного відображення, введеного в розділі 1, узагальню-ється на випадок топологічних просторів.

Визначення 2.4. Нехай і – два топологічні простори і нехай . Відображення Називається неперервним у точці , якщо для будь-якого околу точки існує окіл точки такий, що для всіх маємо . Відображення назива-ється неперервним, якщо воно неперервне в кожній точці .

Теорема 2.5. Для того, щоб відображення було неперервним, необхідно й достатньо, щоб прообраз був відкритою множиною в для будь-якої відкритої множини в .

Наслідок 2.1. Для того, щоб відображення було неперервним, необхідно й достатньо, щоб прообраз був замкненою множиною в для будь-якої замкненої множини в .

У цьому випадку множину визначають як множину

.

Відображення називається Відкритим, якщо воно переводить відкриту множину у відкриту, і Замкненим, якщо воно переводить замкнену множину в замкнену.

Теорема 2.6. Нехай , , – топологічні простори і нехай , – неперервні відображення. Тоді відображення , задане формулою , є неперервним.

На топологічні простори поширюється поняття гомеоморфізму.

Відображення топологічного простору на топологічний простір називається Гомеоморфізмом, якщо воно взаємно однозначне і відображення та неперервні. У цьому випадку простори і називаються Гомеоморфними.

< Предыдущая		Следующая >