2.2. База і збіжність

У конкретних задачах буває зручно задати не весь набір відкритих множин, а тільки частину їх, за якою можна поновити всю множину . Наприклад, у метричних просторах спочатку було введено поняття відкритого шару, а потім визначено відкриті множини як такі, де кожна точка міститься зі своїм шаровим околом. Іншими словами, в метричному просторі відкриті тільки ті множини, які можна подати як об’єднання деякої сукупності відкритих шарів. Ці роздуми приводять до поняття Бази.

Визначення 2.2. Сукупність відкритих множин називається Базою топології простору , якщо будь-яка відкрита множина з може бути подана у вигляді об’єднання деякого числа множин із .

Наведемо кілька умов, які визначають базу.

Теорема 2.1. Для того, щоб система була базою топології у просторі , необхідно й достатньо, щоб виконувались наступні умови:

1) будь-яка точка міститься в деякому ;

2) якщо і , то існує така множина , що

.

Теорема 2.2. Для того, щоб система була базою топології простору , необхідно і достатньо, щоб для кожної відкритої множини і кожної точки існувала множина така, що .

Із теореми 2.2 витікає, що в метричному просторі сукупність усіх відкри-тих шарів утворює базу його топології.

Важливий клас топологічних просторів утворюють простори зі Зліченною базою, тобто простори, у яких існує хоча б одна база, яка складається зі злі-ченної кількості множин.

Теорема 2.3. У просторі зі зліченною базою завжди існує скрізь щільна зліченна множина, тобто множина, замикання якої дає весь простір.

Топологічний простір зі скрізь щільною зліченною множиною, як і в розділі 1, називається Сепарабельним.

Теорема 2.4. Метричний простір має зліченну базу тоді й тільки тоді, коли він сепарабельний.

Дійсно, нехай , зліченна скрізь щільна множина в мет-ричному просторі . Тоді зліченну базу утворюють шари , , .

Узагальнимо поняття збіжності.

Визначення 2.3. Нехай – топологічний простір. Послідовність , прямує до точки , якщо для будь-якого околу точки існує такий номер, що для всіх виконується . Позначається , , .

< Предыдущая		Следующая >