2.1. Топологiчнi простори. Визначення

Основні поняття теорії метричних просторів (гранична точка, замикання тощо) були введені в попередньому розділі, базуючись на понятті околу чи, по суті, на понятті відкритої множини. Ці останні поняття визначались за допомогою метрики, заданої в просторі, який розглядався. Можна піти іншим шляхом і без введення метрики визначити відкриті множини за допомогою системи аксіом. Цей шлях приводить до поняття топологічного простору. При цьому метричний простір буде частковим випадком топологічного.

Визначення 2.1. Нехай – деяка множина. Топологією в називається будь-яка система її підмножин, яка задовольняє умовам:

1) , Æ ;

2) якщо , , – довільна множина індексів, то ;

3) якщо , , то .

Пара називається топологічним простором. Часто будемо позна-чати його просто буквою .

Множини з називаються Відкритими.

Якщо , то множину називаємо Замкненою. З аксіом 1) – 3) витікає, що , Æ – замкнена множина, а будь-який перетин і кінцеве об’єд-нання замкнених множин знову ж таки замкнена множина.

Як і в розділі 1 вводимо наступні поняття.

Околом точки називають відкриту множину , яка містить точку . Точка називається Точкою дотику множини , якщо кожен окіл точки містить хоча б одну точку з . Точка називається Гранич-ною точкою множини , якщо кожен окіл містить хоча б одну точку з , відмінну від . Сукупність усіх точок дотику називається Замиканням множини і позначається через . Неважко довести, що замкнені множи-ни і тільки вони задовольняють умові , тобто є найменшою за включенням замкненою множиною, яка містить .

Таким чином, нові поняття узгоджуються з поняттями, введеними в розділі 1.

Приклад 2.1. В силу наслідку 1.1 відкриті множини в метричному просторі задовольняють аксіомам 1) – 3). Тому будь-який метричний простір є топологічним. При цьому кожна метрика (відстань) задає певну топологію. Однак, одну й ту саму топологію можуть задавати різні метрики. Наприклад, у просторах і із прикладів 1.3 – 1.6 топології однакові, тобто як топо-логічні простори вони не відрізняються.

Приклад 2.2. Нехай в усі точки є відкритими множинами. Такий прос-тір називається Дискретним. У ньому відкриті і замкнені всі множини. При-кладом такого простору є метричний простір із прикладу 1.1.

Приклад 2.3. Другим крайнім випадком є Тривіальна топологія, в якій від - критими є тільки множини і Æ. У цій топології замикання будь-якої множи-ни співпадає з . Такий простір можна назвати простором «склеєних» точок.

Приклад 2.4. Нехай , тобто складається з двох точок. Вважа-ємо, що Æ, . Тоді точка є відкритою множиною, а точка – замкненою. Замиканням множини є весь простір .

Топології можна порівнювати. Нехай на множині задано дві топології і , тобто визначено два топологічних простори і . Будемо говорити, що топологія Сильніша за топологію , якщо .

Розглянемо топологічні простори і нехай – деяка підмножина. На задамо топологію у такий спосіб: будемо вважати, що тоді й тільки тоді, коли , де . Простір нази-вається топологічним підпростором простору .

< Предыдущая		Следующая >