1.6. Принцип стискуючих відображень

Ряд питань, пов’язаних із існуванням і єдиністю розв’язків рівнянь того чи іншого типу (наприклад, диференціальних), можна сформулювати як існування нерухомої точки при деякому відображенні існуючого метричного простору самого в себе. Серед різних критеріїв існування і єдиності нерухомої точки одним із найпростіших і одночасно найважливіших є принцип стиску-ючих відображень.

Нехай – метричний простір із відстанню . Відображення називається Стискуючим або Стисканням, якщо існує таке додатне число , що для будь-яких виконується нерівність

(1.6)

Очевидно, що будь-яке стискуюче відображення неперервне. Дійсно, якщо , то згідно нерівності (1.6) .

Точка називається Нерухомою точкою відображення , якщо , тобто нерухома точка є розв’язком рівняння .

Теорема 1.6. (Принцип стискуючих відображень). Будь-яке стискуюче відображення , яке діє в повному метричному просторі , має одну й тільки одну нерухому точку.

Доведення. Нехай – довільна точка. Припустимо, що , , …, . Послідовність є фундаменталь-ною. Дійсно, взявши для однозначності , маємо

Оскільки , то при досить великих значеннях ця величина є як завгодно малою. В силу повноти послідовність має границю. При-пустимо, що . В силу неперервності маємо

.

Таким чином нерухома точка існує. Доведемо її єдиність.

Якщо, , то з нерівності (1.6) витікає

.

Оскільки , то звідси випливає, що , тобто .

Застосуємо теорему 1.6 для доведення теореми існування і єдиності роз-в’язку диференціального рівняння.

Розглянемо диференціальне рівняння

(1.7)

З початковою умовою . Нехай визначена і неперервна в деякій області , яка містить точку і задовольняє в цій області умові Ліпшиця по Y:

.

Нехай таке число, що . Покажемо, що на відрізку існує й до того ж тільки один розв’язок рівняння (1.7).

Рівняння (1.7) разом з початковими умовами є еквівалентним інтеграль-ному рівнянню

. (1.8)

В силу неперервності маємо оцінку в деякій області , яка містить точку . Підберемо так, щоб , якщо і .

Позначимо через простір неперервних функцій , визначених на і таких, що з метрикою

.

Простір – повний, оскільки він є замкненою підмножиною простору .

Розглянемо відображення , визначене формулою

,

Де . Покажемо, що . Дійсно, для будь-якого

,

Тобто . Крім того

.

Оскільки , то – оператор стискання. Звідси витікає існування й єдиність такого , що , тобто виконується рівняння (1.8).

< Предыдущая		Следующая >