2.2. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание случайной величины
Закон распределения случайной величины является наиболее полной ее характеристикой. Он одновременно указывает и на значение случайной величины и на его вероятность. Однако часто в теории вероятностей и в ее приложениях большую роль играют постоянные числа, которые можно получить, используя законы распределения. В этом параграфе рассмотрим математическое ожидание или среднее значение случайной величины.
Пусть x обозначает дискретную случайную величину с рядом распределения
Xi X1 X2 ,…, Xn,…
Pi P1 P2 ,…, Pn,…
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины x называется сумма произведений возможных значений Xi на соответствующие им вероятности Pi. Будем обозначать математическое ожидание как M(x). Тогда можно написать, что математическое ожидание вычисляется по формуле
M(x)=X1 P1 +X2 P2 +… Xn Pn +…=
, (2.15)
Если числовой ряд сходится абсолютно. Если числовой ряд (2.15) расходится или сходится условно, то в этом случае математическое ожидание случайной величины x не существует.
Пример 2.6. Найдем среднее число очков при одном подбрасывании правильного кубика. Используя ряд распределения из примера 2.3
Xi 1 2 3 4 5 6
Pi 
По формуле (2.15) находим математическое ожидание
M(x)=1*+2* + 3* + 4*+ 5* + 6*=3,5.
Пример 2.7. Найдем среднее число суммы очков на двух кубиках.
Используя ряд распределения
η 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Pi 
,
Получаем M(x)=2×+3×+4×+5×+6×+7×+8×+9×+10×+11×+12×= =
=7.
Пусть x обозначает Непрерывную случайную величину с плотностью вероятности F(X).
Определение. Математическим ожиданием M(x) абсолютно непрерывной случайной величины x называется величина, равная
, (2.16)
Если этот несобственный интеграл сходится абсолютно. В противном случае математическое ожидание случайной величины x не существует.
Пример 2.8. Пусть случайная величина x имеет равномерный закон распределения. В этом случае плотность вероятности F(X) имеет вид
. (2.17)
Тогда по формуле (2.16) получаем формулу для вычисления математического ожидания равномерно-распределенной случайной величины M(x)=
=
+
+
=
=
.
Пусть x обозначает дискретную случайную величину с рядом распределения
Xi x1 x2 ,…, xn,…
Pi p1 p2 ,…, pn,… ,
И G(X) – Некоторая функция переменной X. Новая случайная величина η = G(ξ) будет дискретной случайной величиной с рядом распределения
G(Xi)
pi p1 p2 , …, pn… ,
Причем вероятности этих значений остаются теми же, что и для случайной величины x, а значениями будут числа G(Xi). Тогда математическое ожидание случайной величины η = G(ξ) можно вычислить по формуле
. (2.18)
Пусть x обозначает случайную величину с плотностью вероятности F(X). Тогда математическое ожидание случайной величины η = G(ξ) можно вычислить по формуле
, (2.19)
Если несобственный интеграл сходится абсолютно.
Определение. Математическое ожидание Дискретной случайной величины 
определяется формулой
, (2.20)
Если числовой ряд (2.20) сходится абсолютно.
Свойства математического ожидания.
1. Если случайная величина принимает только одно значение x=C, то M(C)=C.
2. При умножении случайной величины на постоянное число С Математическое ожидание случайной величины x умножается на это же число, т. е. справедливо равенство M(CX)=CM(X).
3. Свойство линейности. При сложении случайных величин математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий, т. е. справедливо равенство M(X+H)=M(X)+M(H).
В частности, M(X+C)=M(X)+C.
4. Мультипликативное свойство. Если случайные величины x, h независимы, то M(XH)=M(X)M(H).
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
